מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1

1

• [math]\displaystyle{ x^2+2x+1\leq 0 }[/math]

נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: [math]\displaystyle{ x^2+2x+1 = 0 }[/math].

לפי נוסחה נקבל פתרון יחיד [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math].

המקדם של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב[math]\displaystyle{ -1 }[/math] וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).

פתרון: [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (1-x)(x+6)\gt 0 }[/math]

נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב[math]\displaystyle{ x=1 }[/math] וב[math]\displaystyle{ x=-6 }[/math].

אם נפתח סוגריים נקבל [math]\displaystyle{ -x^2-5x+6 }[/math] והמקדם של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כש[math]\displaystyle{ x\lt -6 }[/math] ו[math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] וערכים חיוביים כש[math]\displaystyle{ -6\lt x\lt 1 }[/math]

פתרון: [math]\displaystyle{ -6\lt x\lt 1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ -3x^2 +6x - 1 \geq 0 }[/math]

מתי הביטוי מתאפס: [math]\displaystyle{ -3x^2+6x-1=0 }[/math]? לפי נוסחה נקבל [math]\displaystyle{ x={-6 \pm \sqrt{36-12} \over -6}=1 \pm {\sqrt{6} \over 3} }[/math]

המקדם של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

פתרון: [math]\displaystyle{ 1 - {\sqrt{6} \over 3} \leq x \leq 1 + {\sqrt{6} \over 3} }[/math]

• [math]\displaystyle{ (x^2+1)(x^2-1)x^2 \leq 0 }[/math]

נפרק לשלושה ביטויים: [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] , [math]\displaystyle{ x^2-1 }[/math] , [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.

[math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה [math]\displaystyle{ x^2=-1 }[/math] אין פתרון ממשי)

[math]\displaystyle{ x^2-1 }[/math] : מתאפס ב[math]\displaystyle{ x= \pm 1 }[/math]. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב[math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2 }[/math] : מתאפס ב0 וחיובי אחרת.

קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:

[math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית

[math]\displaystyle{ -1\lt x\lt 0 }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

[math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 1 }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

[math]\displaystyle{ 1\lt x }[/math] : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית

בנקודות [math]\displaystyle{ x=0 , \pm 1 }[/math] הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.

פתרון: [math]\displaystyle{ -1 \leq x \leq 1 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)\gt 0 }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math]. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.

• [math]\displaystyle{ |x|\leq 7 }[/math]

נחלק למקרים: אם [math]\displaystyle{ x \ geq 0 }[/math] נקבל את אי השוויון [math]\displaystyle{ |x|\leq 7 }[/math] ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם [math]\displaystyle{ 0 \leq x \leq 7 }[/math]

אם [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ -x \le 7 }[/math] , לכן [math]\displaystyle{ x \geq -7 }[/math] וסה"כ הפתרונות הם [math]\displaystyle{ -7 \leq x \lt 0 }[/math]

נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון

פתרון: [math]\displaystyle{ -7 \leq x \leq 7 }[/math]

• [math]\displaystyle{ |2x-1|\lt 7 }[/math]

נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב[math]\displaystyle{ 1 /over 2 }[/math] לכן נתבונן במקרים:

[math]\displaystyle{ x \geq {1 \over 2} }[/math] : אי השוויון הוא [math]\displaystyle{ 2x-1\lt 7 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ 2x\lt 8 }[/math] ו[math]\displaystyle{ x\lt 4 }[/math]. התשובה היא [math]\displaystyle{ {1 \over 2} \leq x \lt 4 }[/math]

[math]\displaystyle{ x \lt {1 \over 2} }[/math] : אי השוויון הוא [math]\displaystyle{ -2x+1\lt 7 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ -2x\lt 6 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ x\gt -3 }[/math]. התשובה היא [math]\displaystyle{ -3 \lt x \lt {1 \over 2} }[/math]. נאחד את הפתרונות ונקבל:

פתרון: [math]\displaystyle{ -3 \lt x \lt 4 }[/math]

• [math]\displaystyle{ (x-1)|x-1| \gt 1 }[/math]

נחלק למקרים:

[math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math] : אי השוויון הוא [math]\displaystyle{ (x-1)(x-1) \gt 1 }[/math]. נפשט ונקבל [math]\displaystyle{ x^2-2x \gt 0 }[/math]. ביטוי זה חיובי עבור [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] או [math]\displaystyle{ x \gt 2 }[/math] (בדקו!). לכן הפתרון הוא [math]\displaystyle{ x\gt 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ x\lt 1 }[/math] : אי השוויון הוא [math]\displaystyle{ -(x-1)(x-1)\gt 1 }[/math]. נפשט ונקבל [math]\displaystyle{ -x^2 +2x -2 \gt 0 }[/math] ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: [math]\displaystyle{ x\gt 2 }[/math]

• [math]\displaystyle{ \frac{|x|}{x} \gt 1 }[/math]

נשים לב שלביטוי אין ערך ב[math]\displaystyle{ x=0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ {x\over x} \gt 1 }[/math] וזה לא יתכן. אם [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ {-x \over x} \gt 1 }[/math] וגם זה לא יתכן.

פתרון: אף x לא מקיים את אי השוויון

• [math]\displaystyle{ |x-1|\gt |x^2-1| }[/math]

הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור [math]\displaystyle{ x\lt -1 }[/math] או [math]\displaystyle{ x\gt 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ x \leq -1 }[/math] : נקבל אי שוויון [math]\displaystyle{ -(x-1) \gt x^2 - 1 }[/math] . נפשט ונקבל [math]\displaystyle{ x^2 +x -2 \lt 0 }[/math] והפתרון של זה הוא [math]\displaystyle{ -2 \lt x \lt 1 }[/math] . סה"כ: [math]\displaystyle{ -2 \lt x \leq -1 }[/math]

[math]\displaystyle{ -1 \lt x \leq 1 }[/math] : נקבל אי שוויון [math]\displaystyle{ -(x-1) \gt -(x^2-1) }[/math] ואחרי פישוט: [math]\displaystyle{ x^2 -x \gt 0 }[/math] . הפתרון הוא [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math] או [math]\displaystyle{ x \gt 1 }[/math] לכן סה"כ: [math]\displaystyle{ -1 \lt x \lt 0 }[/math] .

[math]\displaystyle{ x \gt 1 }[/math] : נקבל [math]\displaystyle{ x-1 \gt x^2 - 1 }[/math] . נפשט: [math]\displaystyle{ x^2 -x \lt 0 }[/math] והפתרון הוא [math]\displaystyle{ 0 \lt x \lt 1 }[/math] . לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: [math]\displaystyle{ -2 \lt x 0 }[/math]

• [math]\displaystyle{ |x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| \gt 2x }[/math]