88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 1

שאלה 1

לכל קבוצה [math]\displaystyle{ E \subseteq \mathbb{R} }[/math] ומספרים [math]\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R} }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ aE+b:=\{ a x+b:x \in E \} }[/math] (ז"א ש-[math]\displaystyle{ aE+b }[/math] היא תמונת [math]\displaystyle{ E }[/math] תחת הפונקציה הלינארית [math]\displaystyle{ x \mapsto ax+b }[/math]).

הוכיחו: [math]\displaystyle{ m^*(aE+b)=|a| m^*(E) }[/math]

שאלה 2

א. יהי [math]\displaystyle{ \{E_n\}_{n=1}^N }[/math] אוסף סופי של תתי-קבוצות של [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. הוכיחו שמתקיים [math]\displaystyle{ \overline{\cup_{n=1}^N E_n}=\cup_{n=1}^N \overline{E_n} }[/math]

ב. הוכיחו שלא בהכרח מתקיים שוויון כאשר מדובר באוסף אינסופי.

שאלה 3

הגדרה: נאמר שקבוצה [math]\displaystyle{ G \subseteq \mathbb{R} }[/math] היא מטיפוס [math]\displaystyle{ G_\delta }[/math] אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.

תהי [math]\displaystyle{ E \subseteq \mathbb{R} }[/math] הוכיחו שקיימת קבוצה [math]\displaystyle{ G \in G_\delta }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ E \subseteq G }[/math] וכן [math]\displaystyle{ m^*(G)=m^*(E) }[/math]

הדרכה: עקבו אחרי השלבים הבאים:

א. הוכיחו שלכל קבוצה [math]\displaystyle{ E \subseteq \mathbb{R} }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיימת קבוצה פתוחה [math]\displaystyle{ O }[/math], המקיימת [math]\displaystyle{ E \subseteq O }[/math] וכן [math]\displaystyle{ m^*(O) \leq m^*(E)+\varepsilon }[/math]

ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.

שאלה 4

הראו שלכל קטע (לא טריוויאלי) יש תת קבוצה לא מדידה. (רמז: תרגיל 1)

בהצלחה!