88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים

חזרה לטורים

טורים חיוביים

טור חיובי הינו טור שכל איבריו אי שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על ידי נוסחאת הנסיגה [math]\displaystyle{ S_{N+1}=S_N+a_{N+1} }[/math], רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:

[math]\displaystyle{ S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\geq 0 }[/math]

על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.

למטה נראה מבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים. תבחנו את עצמכם באמצעות הדוגמאות האלו.

מבחן ההשוואה הראשון

יהיו [math]\displaystyle{ \sum a_n,\sum b_n }[/math] טורים חיוביים כך ש [math]\displaystyle{ \forall n:a_n\geq b_n }[/math]

אם [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס אזי גם [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתבדר אזי גם [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתבדר

הוכחה: נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] ב[math]\displaystyle{ { A }_{ N }:=\sum _{ k=1 }^{ N }{ a_{ k } } }[/math] ובדומה [math]\displaystyle{ { B }_{ N }:=\sum _{ k=1 }^{ N }{ b_{ k } } }[/math]. לפי הנתון הטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה, כלומר קיים M ממשי כך ש[math]\displaystyle{ { A }_{ N }=\sum _{ k=1 }^{ N }{ a_{ k } } \le M }[/math].

אבל לכל n מתקיים [math]\displaystyle{ { a }_{ n }\ge { b }_{ n } }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ { B }_{ N }=\sum _{ k=1 }^{ N }{ b_{ k } } =b_{ 1 }+...+b_{ N }\le a_{ 1 }+...+a_{ N }=\sum _{ k=1 }^{ N }{ a_{ k } } =A_{ N }\le M }[/math], כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] חסומה, ולכן הטור מתכנס.

החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים: [math]\displaystyle{ a\rightarrow b\equiv \bar { b } \rightarrow \bar { a } }[/math].

מבחן ההשוואה הגבולי

יהיו [math]\displaystyle{ \sum a_n,\sum b_n }[/math] טורים חיוביים כך ש [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}=L }[/math] אזי

אם [math]\displaystyle{ L=0 }[/math]:

אם [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס אזי גם [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתבדר אזי גם [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתבדר

אם [math]\displaystyle{ 0\neq L\in\mathbb{R} }[/math]:

הטורים חברים כלומר מתכנסים או מתבדרים יחדיו (במתמטיקה: [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] מתכנס)

מבחן דלאמבר/המנה

יהי [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] טור חיובי אזי:

אם [math]\displaystyle{ \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n} \lt 1 }[/math] הטור מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \liminf \frac{a_{n+1}}{a_n} \gt 1 }[/math] הטור מתבדר (כולל אינסוף)

אם [math]\displaystyle{ \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} =1 }[/math] לא ניתן לדעת (הטורים [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} }[/math] מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

מבחן השורש של קושי

יהי [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] טור חיובי אזי:

אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} \lt 1 }[/math] הטור מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} \gt 1 }[/math] הטור מתבדר (כולל אינסוף)

אם [math]\displaystyle{ \limsup \sqrt[n]{a_n} =1 }[/math] לא ניתן לדעת (הטורים [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2} }[/math] מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

שימו לב שבשני המבחנים הקודמים לא מספיק להוכיח כי

[math]\displaystyle{ \forall n: \frac{a_{n+1}}{a_n}\lt 1 }[/math] או [math]\displaystyle{ \forall n: \sqrt[n]{a_n}\lt 1 }[/math]

שכן גבול סדרה שאיבריה קטנים ממש מאחד, עשוי להיות אחד. במקרה והגבול הוא אחד, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס.

לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מאחד, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת לאפס ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה-n גדול מאחד אזי איברי הסדרה גדולים מאחד ולכן הסדרה אינה שואפת לאפס והטור אינו מתכנס

מבחן העיבוי

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה חיובית, מונוטונית ושואפת לאפס. אזי:

הטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס אם"ם הטור [math]\displaystyle{ \sum 2^na_{2^n} }[/math] מתכנס (הם חברים)

כלומר, אנו זורקים את כל האיברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של שתים. את האיברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2.

מבחן ראבה

יהי [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] טור חיובי אזי:

אם [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)\gt 1 }[/math] הטור מתכנס.

אם [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)\lt 1 }[/math] הטור מתבדר.

אם [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1 }[/math] לא ניתן לדעת.

מבחן לוגריתמי

יהי [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] טור חיובי. אזי:

אם [math]\displaystyle{ lim \frac{ln \frac{1}{a_n}}{ln n}\gt 1 }[/math] הטור מתכנס.

אם [math]\displaystyle{ lim \frac{ln \frac{1}{a_n}}{ln n}\lt 1 }[/math] הטור מתבדר.

אם [math]\displaystyle{ lim \frac{ln \frac{1}{a_n}}{ln n}=1 }[/math] לא ניתן לדעת.

הערה: שימו לב כי אם [math]\displaystyle{ \frac{ln \frac{1}{a_n}}{ln n}\gt 1 }[/math] אז לא בהכרח מתקיים [math]\displaystyle{ lim \frac{ln \frac{1}{a_n}}{ln n}\gt 1 }[/math]; יש סדרות שכל איבריהן גדולים מ-1, אך מתכנסות ל-1.

דוגמא.

קבע האם הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{nln(n)} }[/math] מתכנס.

פתרון. כיוון שהסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{nln(n)} }[/math] חיובית, מונוטונית ושואפת לאפס, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:

[math]\displaystyle{ \sum 2^n\frac{1}{2^nln(2^n)} }[/math]

נזכור כי [math]\displaystyle{ ln(2^n)=nln(2) }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ \sum \frac{2^n}{2^nln(2^n)}=\frac{1}{nln(2)} }[/math]

אבל זה סה"כ קבוע כפול הטור ההרמוני, וידוע כי הטור ההרמוני מתבדר.

לכן סה"כ הטור מתבדר.

דוגמא.

קבע האם הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{nln^2(n)} }[/math] מתכנס.

פתרון. כיוון שהסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{nln^2(n)} }[/math] חיובית, מונוטונית ושואפת לאפס, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:

[math]\displaystyle{ \sum 2^n\frac{1}{2^nln^2(2^n)} }[/math]

בדומה לתרגיל הקודם, אנו מקבלים:

[math]\displaystyle{ \sum \frac{2^n}{2^nln^2(2^n)}=\frac{1}{n^2ln^2(2)} }[/math]

אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math]

ולכן סה"כ הטור מתכנס.

דוגמא.

קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^\alpha} }[/math] מתכנס.

פתרון.

הסדרה מקיימת את תנאי מבחן העיבוי, על כן נפעיל אותו. הטור שאנו חוקרים חבר של הטור:

[math]\displaystyle{ \sum 2^n \frac{1}{(2^n)^\alpha}=\sum\frac{1}{2^{n(\alpha-1)}}=\sum\Big(\frac{1}{2^{\alpha-1}}\Big)^n }[/math]

זה טור הנדסי ולכן מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \frac{1}{2^{\alpha-1}}\lt 1 }[/math] וזה נכון אם"ם [math]\displaystyle{ \alpha-1\gt 0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ \alpha\gt 1 }[/math]