88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול עליון ותחתון
גבול עליון וגבול תחתון
למדנו על חסמים על מנת לחסום את הקבוצה באופן אידיאלי, כלומר למצוא את "קצות" הקבוצה. היינו רוצים למצוא הגדרה דומה עבור סדרות. השיטה התמימה היא להביט בחסמים של קבוצת איברי הסדרה, אך מהדוגמא הקלה הבאה נראה כי החסמים של קבוצת איברי הסדרה לא אומרים שום דבר על הסדרה:
- [math]\displaystyle{ 100,-100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,... }[/math]
החסמים הם פלוס מינוס מאה, אך אין קשר בין מספרים אלה להתנהגות הסדרה באינסוף.
הגדרה.
נגדיר
- [math]\displaystyle{ b_1=\sup\{a_1,a_2,a_3,a_4...\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ b_2=\sup\{a_2,a_3,a_4,...\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ b_3=\sup\{a_3,a_4,...\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
- [math]\displaystyle{ b_i=\sup\{a_i,a_{i+1},a_{i+2},...\} }[/math]
כלומר, אנו לוקחים את החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה, אבל כל פעם אנחנו זורקים את האיבר הבא מהסדרה. באופן טבעי, החסם העליון לא יגדל לאחר שנזרוק איבר.
אם כך, סדרת החסמים [math]\displaystyle{ b_i }[/math] מונוטונית יורדת ולכן שואפת למספר כלשהו או למינוס אינסוף. אם הסדרה חסומה, לפי תרגיל מתקיים [math]\displaystyle{ \lim_{i\rightarrow\infty}b_i = \inf\{b_1,b_2,b_3,...\} }[/math]
נגדיר את הגבול העליון של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] להיות
- [math]\displaystyle{ \limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}b_i }[/math]
במילים בלתי מדוייקות, הגבול העליון הוא החסם העליון "באינסוף".
באופן דומה, הגבול התחתון הינו גבול החסמים התחתונים של קבוצות איברי הסדרה.
העשרה: סדרה הינה פונקציה [math]\displaystyle{ a_n=a(n) }[/math] מהטבעיים לקבוצה A, כלומר יחס חד ערכי ושלם [math]\displaystyle{ a\subseteq\mathbb{N}\times A }[/math]. אם כך, אנו מגדירים
[math]\displaystyle{ b_i:=\sup\Big[im \big[a\cap(\mathbb{N}-\{1,2,...,i-1\})\times A\big]\Big] }[/math]
דוגמאות.
- נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math]. נבנה את סדרת החסמים [math]\displaystyle{ b_i }[/math]:
- [math]\displaystyle{ b_1=\sup\{-1,1\}=1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ b_2=\sup\{-1,1\}=1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
ולכן הגבול העליון הינו
- [math]\displaystyle{ \limsup_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}b_i=1 }[/math]
נביט כעת בסדרת החסמים [math]\displaystyle{ c_i }[/math]:
- [math]\displaystyle{ c_1=\inf\{-1,1\}=-1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ c_2=\inf\{-1,1\}=-1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
ולכן הגבול התחתון הינו
- [math]\displaystyle{ \liminf_{n\rightarrow\infty} a_n:=\lim_{i\rightarrow\infty}c_i=-1 }[/math]
- נביט בסדרה [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{n} }[/math].
- [math]\displaystyle{ b_1=\sup\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ b_2=\sup\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ b_3=\sup\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=\frac{1}{3} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
- [math]\displaystyle{ b_i=\frac{1}{i} }[/math]
ולכן הגבול העליון הינו [math]\displaystyle{ \lim b_i=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ c_1=\inf\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ c_2=\inf\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ c_3=\inf\{\frac{1}{3},\frac{1}{4},...\}=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
- [math]\displaystyle{ c_i=0 }[/math]
ולכן הגבול התחתון הינו [math]\displaystyle{ \lim c_i = 0 }[/math]
הקשר בין גבול עליון וגבול תחתון להתכנסות סדרות ותתי סדרות
משפט. לכל סדרה יש תת סדרה המתכנסת לגבול העליון שלה, ותת סדרה המתכנסת לגבול התחתון שלה.
לכן הגבול העליון הוא מקסימום מקבוצת הגבולות החלקיים, והגבול התחתון הוא מינימום מקבוצת הגבולות החלקיים.
משפט. גבול סדרה שווה L אם"ם הגבול העליון של הסדרה שווה לגבול התחתון של הסדרה שווה ל- L.
תרגיל.
יהיו [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] סדרות כך ש [math]\displaystyle{ \forall n:a_n\leq b_n }[/math]. הוכח/הפרך:
1. [math]\displaystyle{ \limsup a_n \leq \limsup b_n }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \limsup a_n \leq \liminf b_n }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \liminf a_n \leq \liminf b_n }[/math]
פתרון.
1. הוכחה:
- לפי המשפט קיימת תת סדרה המתכנסת לגבול העליון [math]\displaystyle{ a_{n_k}\rightarrow \limsup a_n }[/math]
- לפי הנתון [math]\displaystyle{ a_{n_k}\leq b_{n_k} }[/math]
- לתת הסדרה [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] קיימת תת סדרה השואפת לגבול העליון [math]\displaystyle{ b_{n_{k_j}}\rightarrow\limsup b_{n_k} }[/math]
- כל תת סדרה של סדרה מתכנסת שואפת לגבול הסדרה, ולכן [math]\displaystyle{ a_{n_{k_j}}\rightarrow \limsup a_n }[/math]
- מכיוון ש [math]\displaystyle{ b_{n_{k_j}} }[/math] תת סדרה של [math]\displaystyle{ b_n }[/math] אזי הגבול שלה הוא גבול חלקי של [math]\displaystyle{ b_n }[/math].
- כלומר, [math]\displaystyle{ \limsup b_{n_k} }[/math] הינו גבול חלקי של [math]\displaystyle{ b_n }[/math].
- הגבול החלקי העליון של סדרה הוא הגבול החלקי הכי גדול שלה, ולכן מתקיים [math]\displaystyle{ \limsup b_{n_k}\leq\limsup b_n }[/math]
- כמו כן, כיוון ש [math]\displaystyle{ a_{n_{k_j}}\leq b_{n_{k_j}} }[/math], הגבולות מקיימים את אותו היחס:
[math]\displaystyle{ \limsup a_n \leq \limsup b_{n_k} }[/math]
ביחד אנו מקבלים [math]\displaystyle{ \limsup a_n \leq \limsup b_n }[/math]
2. הפרכה פשוטה: [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math]
3. הוכחה:
ידוע מתרגילי הבית כי [math]\displaystyle{ \liminf a_n = -\limsup{(-a_n)} }[/math]
לכן, לפי סעיף א',
- [math]\displaystyle{ \limsup (-a_n)\geq \limsup (-b_n) }[/math]
- [math]\displaystyle{ -\limsup (-a_n)\leq -\limsup (-b_n) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \liminf (-a_n)\leq \liminf (-b_n) }[/math]
תרגיל.
תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה חסומה המקיימת
- [math]\displaystyle{ \lim|a_{n+1}-a_n|=0 }[/math]
הוכח כי קבוצת הגבולות החלקיים של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] שווה ל- [math]\displaystyle{ \Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big] }[/math]
הוכחה.
- נסמן את קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] ב-A.
- כיוון שהגבול החלקי העליון הוא גבול חלקי (לפי משפט) וכך גם לגבי הגבול החלקי התחתון, מתקיים [math]\displaystyle{ \limsup a_n,\liminf a_n \in A }[/math]
- כיוון שהגבול החלקי העליון הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, והגבול החלקי התחתון הוא הגבול החלקי הקטן ולכן אם [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] אזי בהכרח [math]\displaystyle{ x\in\Big[\liminf a_n,\limsup a_n\Big] }[/math].
- נניח בשלילה כי קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in\Big(\liminf a_n,\limsup a_n\Big) }[/math] שאינה גבול חלקי של הסדרה
- אזי קיימת סביבת אפסילון של c, המוכלת ממש בקטע, בה יש מספר סופי בלבד של איברים מהסדרה
- נזרוק מספר סופי של איברים מהסדרה כך שבסביבת האפסילון של c לא יהיו איברים כלל. הגבולות החלקיים לא ישתנו כמובן.
- כיוון שהגבול החלקי התחתון הוא בפרט גבול חלקי, יש אינסוף איברים בסדרה הקרובים אליו כרצוננו. בפרט יש אינסוף איברים הקטנים מ [math]\displaystyle{ c-\epsilon }[/math] וכמו כן יש אינסוף איברים הגדולים מ[math]\displaystyle{ c+\epsilon }[/math]
- כיוון שנתון [math]\displaystyle{ \lim|a_{n+1}-a_n|=0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ n_{2\epsilon} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\gt n_{2\epsilon} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_n|\lt 2\epsilon }[/math]
- ניקח שני איברים [math]\displaystyle{ a_m,a_{m+k} }[/math] האחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני נמצא משמאל. עוד נקבע כי [math]\displaystyle{ m\gt n_{2\epsilon} }[/math] (זה מותר כיוון שיש אינסוף איברים כאלה לפי הטענות הקודמות)
- נוציא מבין [math]\displaystyle{ a_m,a_{m+1},a_{m+2},...,a_{m+k} }[/math] זוג עוקב שהאחד נמצא מימין לסביבת האפסילון של c והשני משמאל
- המרחק בין שני איברי הזוג העוקב הזה גדול מ-[math]\displaystyle{ 2\epsilon }[/math] בסתירה.
תרגיל.
תהיינה [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math] סדרות חסומות. הוכיחו כי:
- [math]\displaystyle{ \liminf a_n + \limsup b_n \leq \limsup (a_n+b_n) \leq \limsup a_n + \limsup b_n }[/math]
הוכחה.
- קיימת תת סדרה [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] השואפת לגבול העליון של הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \lim b_{n_k}=\limsup b_n }[/math]
- תת הסדרה המקבילה [math]\displaystyle{ a_{n_k} }[/math] אמנם לא בהכרח מתכנסת, אך כיוון שהיא חסומה, יש לה תת סדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ a_{n_{k_j}} }[/math]
- ברור שכל גבול חלקי גדול או שווה לגבול החלקי התחתון, ולכן [math]\displaystyle{ \liminf a_n \leq \lim a_{n_{k_j}} }[/math]
- כמו כן, כיוון שהסדרה [math]\displaystyle{ b_{n_k} }[/math] מתכנסת, כל תת סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול. כלומר [math]\displaystyle{ \lim b_{n_{k_j}} = \lim b_{n_k} = \limsup b_n }[/math]
- ביחד מקבלים כי [math]\displaystyle{ \liminf a_n + \limsup b_n = \liminf a_n + \lim b_{n_{k_j}} \leq \lim a_{n_{k_j}} + \lim b_{n_{k_j}} = \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}} }[/math]
- ברור שכל גבול חלקי קטן או שווה לגבול החלקי העליון, ולכן [math]\displaystyle{ \lim a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}}\leq \limsup a_{n_{k_j}}+b_{n_{k_j}} }[/math]. לכן הוכחנו את הצד השמאלי של אי השיוויון.