88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/משפט קושי

משפט ערך הביניים המוכלל

יהיו [math]\displaystyle{ f(x),g(x) }[/math] פונקציות רצפיפות בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירות בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math] אם [math]\displaystyle{ g(x)\not=0 }[/math] שמה אזי קיים [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} }[/math]

תרגיל: הוכח כי לכל [math]\displaystyle{ x,y\in[0,\frac{\pi}{3}] }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |tan(x)-tan(y)|\leq8\cdot|sin(x)-sin(y)| }[/math]

פתרון: נגדיר [math]\displaystyle{ f(x)=tan(x).g(x)=sin(x) }[/math] לפי משפט ע"ב המוכלל [math]\displaystyle{ \frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\lt c\lt y }[/math]

מתקיים [math]\displaystyle{ |\frac{f'(c)}{g'(c)}|=|\frac{\frac{1}{cos^{2}(c)}}{cos(c)}|=|\frac{1}{cos^{3}(c)}|\leq|\frac{1}{cos^{3}(\frac{\pi}{3})}|=8 }[/math]