עמוד ראשי

מה ללמוד לבוחן? מה שלמדנו בהרצאה ובתרגיל, עד חנוכה. (בחנוכה אין לימודים בקורס שלנו.) זה כולל הגדרות, ניסוח מדוייק והוכחות משפטים, משפטונים (שמשפטונים אפשר להוכיח גם כשלא זוכרים את ההוכחה מהכתה), ויכולת פתרון תרגילים ברמת קושי דומה לתרגילי הבית.

מטרות הבוחן:

1. הבאת ההתלמיד להבנה טובה של החומר שנלמד עד שלב זה, שתאפשר לו להתמודד עם המשך הקורס בצורה טובה.

2. נקודת ביקורת, שבה התלמיד מעריך את הידע והטכניקה הנוכחיים, במטרה לראות האם עליו לשפרם בצורה משמעותית לקראת המבחן.

מתי כדאי ללמוד לבוחן? מי שפנוי לכך בימי החנוכה, זה הזמן המומלץ ביותר. מי שלא, יכול ללמוד עד חנוכה, ולרענן את זכרונו מיום ראשון עד יום שלישי.

ואם יהיו לנו שאלות? ד"ר צבאן יעביר בהתנדבות שיעור ביום חמישי שחל בחנוכה (17 דצמבר), בשעות שתיים עד ארבע, בניין 105, חדר 106. השיעור הוא רשות, מיועד רק למי שיש לו שאלות או רוצה לשמוע תשובות לשאלות של האחרים, ופתוח לתלמידי שתי הקבוצות.

מה משקל הבוחן בציון הסופי? הבוחן הוא עשר אחוזים מהציון הסופי. למשל, מי שיקבל חמישים בבוחן, ציונו הסופי יהיה לכל היותר (בהנחה ששיפר את יכולותיו עד המבחן) תשעים וחמש.

ואם איני יכול להגיע לבוחן מסיבה מוצדקת? כעיקרון, אין הרבה סיבות מוצדקות להיעדר מהבוחן. במקרים מאד חריגים (שאנו מקוים שלא יהיו), ומגובים על ידי מסמכים רשמיים, ננסה לטפל בצורה פרטנית. לא מובטח שהפתרון למקרים כאלה יהיה אופטימלי, אך נעשה כמיטב יכלתנו לפתור את הבעיה לפחות חלקית.

תיקון/השלמה לתרגיל - לתלמידי כל המתרגלים

יהיה [math]\displaystyle{ V }[/math] ממ"פ ממימד [math]\displaystyle{ n }[/math]. יהיו וקטורים [math]\displaystyle{ v_1,...v_n \in V }[/math]. נגדיר את מטריצת גרהם [math]\displaystyle{ A }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ a_{ij}=\lt v_i,v_j\gt }[/math]. הוכח:

[math]\displaystyle{ v_1,...v_n\iff |A|=0 }[/math] ת"ל

פתרון

תיקון/השלמה שנייה לתרגיל - לתלמידי כל המתרגלים

[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה [math]\displaystyle{ \iff }[/math] הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה [math]\displaystyle{ m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \lambda_1,...,\lambda_k }[/math] הע"ע השונים של [math]\displaystyle{ A }[/math]

פתרון

שאלת הבונוס

תהי [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{C}^{n} }[/math] הפיכה, ונתון ש [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] לכסינה. הוכח ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה.

יש פותרים לשאלת הבונוס. השאלה נפתרה בשלוש דרכים עיקריות:

1. הפותרים: רום דודקביץ ועידו קוטלר

[math]\displaystyle{ P_{A^2} }[/math] מתפרק לגורמים לינאריים כי אנחנו מעל המרוכבים. לכן [math]\displaystyle{ P_{A^2}=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_k) }[/math] (החזקות הן אחד לפי התיקון/השלמה שנייה להרצאה כי [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] לכסינה). המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה ולכן גם [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] הפיכה, ולכן אין לה ע"ע אפס (לפי משפט). לכן לכל [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] קיימים שני שורשים שונים [math]\displaystyle{ \pm\alpha_i }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ \alpha_i^2=\lambda_i }[/math].

[math]\displaystyle{ P_{A^2}(A^2)=0 }[/math] כלומר לכן

[math]\displaystyle{ 0=P_{A^2}(A^2)=(A^2-\alpha_1^2)\cdots(A^2-\alpha_k^2)=(A-\alpha_1)(A+\alpha_1)\cdots(A-\alpha_k)(A+\alpha_k)=0 }[/math].

נסמן [math]\displaystyle{ g=(x-\alpha_1)(x+\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k)(x+\alpha_k) }[/math] וקבלנו ש[math]\displaystyle{ g(A)=0 }[/math] ולכן הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ A }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ g(A) }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ g }[/math] מכיל גורמים לינאריים בלבד ולכן גם הפולינום המינימלי של [math]\displaystyle{ A }[/math] מכיל גורמים לינאריים בלבד (שימו לב, אם אפס היה ע"ע אז היה גורם [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] לא לינארי). ולכן ולפי משפט (ראה תיקון/השלמה שנייה) [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה.

2. הפותרים: דניאל ורדי-זר, אסף רוזן וניל וקסלר

אנחנו מעל המרוכבים אז לכל מטריצה יש צורת ז'ורדן. תהיי [math]\displaystyle{ J }[/math] צורת הז'ורדן של [math]\displaystyle{ A }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ A=P^{-1}JP }[/math], נעלה בריבוע ונקבל [math]\displaystyle{ A^2=P^{-1}J^2P }[/math]כלומר [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] ו [math]\displaystyle{ J^2 }[/math] דומות.

נניח בשלילה ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לא לכסינה ונוכיח שנובע ש[math]\displaystyle{ J^2 }[/math] לא לכסינה וזו סתירה לכך ש[math]\displaystyle{ A^2 }[/math] לכסינה.

[math]\displaystyle{ J }[/math] היא סכום ישר של בלוקים, ולכן [math]\displaystyle{ J^2 }[/math] היא סכום ישר של הבלוקים של [math]\displaystyle{ J }[/math] בריבוע. הנחנו ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לא לכסינה, לכן בצורת הז'ורדן שלה [math]\displaystyle{ J }[/math] יש בלוק בגודל גדול או שווה ל2 (אחרת כל הבלוקים בגודל אחד וזו מטריצה אלכסונית).

נניח [math]\displaystyle{ J_r(\lambda) }[/math] בלוק ז'ורדן ב[math]\displaystyle{ J }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ r\geq 2 }[/math]. מכיוון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה אין לה ע"ע אפס! ולכן [math]\displaystyle{ \lambda \neq 0 }[/math]. לכן בהכרח (תרגיל) [math]\displaystyle{ J_r(\lambda)^2 }[/math] מכיל איברים שאינם אפסים מעל האלכסון, והאלכסון שלו מכיל את [math]\displaystyle{ \lambda^2 }[/math]. ולכן [math]\displaystyle{ rank(J_r(\lambda)^2-\lambda^2I)\gt 0 }[/math]. לכן יש ל [math]\displaystyle{ J_r(\lambda)^2 }[/math] פחות מ [math]\displaystyle{ r }[/math] וקטורים עצמיים בת"ל.

לפי משפט, כמות הוקטורים העצמיים הבת"ל של מטריצה שהיא סכום ישר של מטריצות, היא סכום כמויות הוקטורים העצמיים הבת"ל בכל אחת מן המטריצות. זה נכון כי [math]\displaystyle{ rank(A\oplus B)=rankA+rankB }[/math]. אבל הראנו שיש בסכום הישר של המטריצה [math]\displaystyle{ J^2 }[/math] את הבלוק [math]\displaystyle{ J_r(\lambda)^2 }[/math] שתורם פחות מ [math]\displaystyle{ r }[/math] וקטורים עצמיים בת"ל. ולכן לכל המטריצה [math]\displaystyle{ J^2 }[/math] יש פחות מ[math]\displaystyle{ n }[/math] וקטורים עצמיים בת"ל, ולכן היא לא לכסינה. סתירה.

3. הפותר: עדן קופרווסר

אנחנו מעל המרוכבים, ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] דומה למטריצה משולשית [math]\displaystyle{ U }[/math] שבאלכסון שלה נמצאים הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ A^2=P^{-1}D^2P }[/math] כלומר הע"ע של [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] הם בדיוק הריבועים של הע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math].

נוכיח שהמרחב העצמי של [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] עבור הע"ע [math]\displaystyle{ \lambda_i^2 }[/math] (נסמן אותו ב[math]\displaystyle{ V_{\lambda_i^2}^{A^2} }[/math]), שווה לסכום המרחבים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math] עבור הע"ע [math]\displaystyle{ \pm\lambda_i }[/math] (נסמן אותם ב[math]\displaystyle{ V_{\pm\lambda_i}^A }[/math]. כלומר נוכיח ש [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i^2}^{A^2} = V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math].

דבר ראשון נראה שהסכום הוא אכן ישר. נניח [math]\displaystyle{ w \in V_{\lambda_i}^A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ Aw=\lambda_i w }[/math] וגם [math]\displaystyle{ w \in V_{-\lambda_i}^A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ Aw=-\lambda_i w }[/math] לכן ההפרש בינהם יוצא [math]\displaystyle{ 0=Aw-Aw=2\lambda_iw }[/math]. כעת, נתון ש[math]\displaystyle{ A }[/math] לא הפיכה ולכן 0 לא ע"ע שלה. ולכן [math]\displaystyle{ w=0 }[/math] כלומר הסכום הוא ישר.

דבר שני, נראה הכלה בכיוון ראשון. נניח [math]\displaystyle{ w \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ w=v_1+v_2 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ Aw=Av_1+Av_2=\lambda_i v_1-\lambda_i v_2 }[/math] ונכפול שוב במטריצה לקבל [math]\displaystyle{ A^2w=\lambda_i^2v_1+\lambda_i^2v_2=\lambda_i^2w }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ w \in V_{\lambda_i^2}^{A^2} }[/math]. ולכן [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i^2}^{A^2} \supseteq V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math].

בכיוון ההפוך, נניח [math]\displaystyle{ w \in V_{\lambda_i^2}^{A^2} }[/math] לכן [math]\displaystyle{ (A^2-\lambda_i^2I)w=0 }[/math] לכן [math]\displaystyle{ (A-\lambda_iI)(A+\lambda_iI)w=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A+\lambda_iI)(A-\lambda_iI)w=0 }[/math]. אם [math]\displaystyle{ (A+\lambda_iI)w=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ w \in V_{-\lambda_i}^A }[/math] וסיימנו. אם [math]\displaystyle{ (A-\lambda_iI)w=0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ w \in V_{\lambda_i}^A }[/math] וסיימנו.

אם שתי האופציות לא נכונות, כלומר [math]\displaystyle{ (A-\lambda_iI)w \neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A+\lambda_iI)w \neq 0 }[/math] אזי נסמן [math]\displaystyle{ u_1=(A+\lambda_iI)w }[/math] ונסמן [math]\displaystyle{ u_2=(A-\lambda_iI)w }[/math].

מהמשוואות למעלה רואים ש [math]\displaystyle{ (A-\lambda_iI)u_1=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A+\lambda_iI)u_2=0 }[/math]. לכן הם שייכים למרחבים העצמיים המתאימים של [math]\displaystyle{ A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ u_1-u_2 \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math]. אבל [math]\displaystyle{ u_1-u_2=Aw+\lambda_iw-Aw + \lambda_iw = 2\lambda_iw }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ 2\lambda_iw \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ w \in V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i^2}^{A^2} \subseteq V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math].

מכיוון שהראנו הכלה דו-כיוונית אזי [math]\displaystyle{ V_{\lambda_i^2}^{A^2} = V_{\lambda_i}^A \oplus V_{-\lambda_i}^A }[/math] כפי שרצינו להוכיח.

כעת, [math]\displaystyle{ A^2 }[/math] לסכינה, ולכן סכום הריבויים הגיאומטרים של הע"ע שלה שווה [math]\displaystyle{ n }[/math]. אבל הריבוי הגיאומטרי זה מימד המרחב העצמי, ולכן [math]\displaystyle{ \sum_idim(V_{\lambda_i^2}^{A^2})=n }[/math] אבל זה שווה [math]\displaystyle{ n=\sum_idim(V_{\lambda_i^2}^{A^2})=\sum_i[dim(V_{\lambda_i}^A)+dim(V_{-\lambda_i}^A)] }[/math] אבל זה בדיוק סכום הריבויים הגיאומטריים של [math]\displaystyle{ A }[/math], ויצא לנו שהוא גם כן שווה [math]\displaystyle{ n }[/math]. ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] לכסינה.