88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות

חזרה לסדרות

סדרות מונוטוניות

הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)

דוגמאות.

• [math]\displaystyle{ 1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\dots }[/math]

• [math]\displaystyle{ 0,0.9,0.99,0.999,\dots }[/math]

• [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\frac13,\dots }[/math]

משפט. סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.

תרגיל.

הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת [math]\displaystyle{ a_n=\frac1{n}+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{3n} }[/math]

פתרון. נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\le 0 }[/math] ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1{n}\le \frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1{n}=0 }[/math]

לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , ולכן הסדרה מתכנסת.

תרגיל.

יהיו [math]\displaystyle{ \alpha,\beta\gt 0 }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ a_1=\alpha,b_1=\beta }[/math]. כעת, נגדיר סדרות באמצעות נוסחת הנסיגה (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n} }[/math]

הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.

פתרון. אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] גדולים בהתאמה מאיברי הסדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הנם אי-שליליים.

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n)}{2}=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\ge 0 }[/math]

אם כך, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\le\frac{a_n+a_n}{2}=a_n }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית יורדת. כמו כן

[math]\displaystyle{ b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית עולה.

נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:

[math]\displaystyle{ b_2\le b_n\le a_n\le a_2 }[/math]

ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

תרגיל.

יהי [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt 1 }[/math] . נגדיר סדרה על-ידי תנאי ההתחלה

[math]\displaystyle{ a_1=c }[/math]

ונוסחת הנסיגה

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} }[/math]

הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.

פתרון.

נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}-(\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2} }[/math]

נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:

עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] :

[math]\displaystyle{ a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}\lt 0 }[/math]

(זה נכון כיון ש- [math]\displaystyle{ c^2\lt c\cdot 1 = c }[/math] לפי הנתון [math]\displaystyle{ c\lt 1 }[/math] .)

נניח, אם כן, כי [math]\displaystyle{ a_n-a_{n-1}\lt 0 }[/math] ונוכיח כי [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\lt 0 }[/math] . כיון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל [math]\displaystyle{ a_n^2\lt a_{n-1}^2 }[/math] .

לפי החישוב לעיל מתקיים:

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}\lt 0 }[/math]

כפי שרצינו.

על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.

טענה חשובה אך קלה לבדיקה: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} }[/math] . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האיברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.

שימו לב לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי [math]\displaystyle{ L }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \lim a_n = L }[/math] . נביט בנוסחת הנסיגה

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} }[/math]

נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)

[math]\displaystyle{ \lim a_{n+1}=\lim\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} }[/math]

לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:

[math]\displaystyle{ L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ L^2-2L+c=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ L=1\pm\sqrt{1-c} }[/math]

כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- [math]\displaystyle{ a_1=c\lt 1\lt 1+\sqrt{1-c} }[/math] ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).

לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו [math]\displaystyle{ L=1-\sqrt{1-c} }[/math]