פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,

(המבחן )

חלק א'

1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] . [math]\displaystyle{ a_n }[/math] היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י [math]\displaystyle{ b_1 }[/math] (באינדוקציה - [math]\displaystyle{ b_1 }[/math] גדולה יותר מכל שאר איברי [math]\displaystyle{ b }[/math] שגדולים יותר מכל איברי [math]\displaystyle{ a }[/math]) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, [math]\displaystyle{ b_n }[/math] היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':

דוגמא: [math]\displaystyle{ a_n=2(1+\frac1{n}) }[/math] , [math]\displaystyle{ b_n=-2(1+\frac1{n}) }[/math] .

2) התשובה היא ב'. הפרכה לג', ד': [math]\displaystyle{ a_n=\frac1{n} }[/math] . ברור [math]\displaystyle{ a_n\to 0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{a_n}}=1 }[/math] . אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן [math]\displaystyle{ \frac1{|a_n|}\to\infty }[/math] .

(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם [math]\displaystyle{ |a_n|\lt \epsilon }[/math] אז [math]\displaystyle{ \frac1{|a_n|}\gt \frac1{\epsilon} }[/math] .) פורמלית: יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] . מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] ולכן לכל [math]\displaystyle{ \frac1{\epsilon} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall n\lt N: |a_n|\lt \frac1{\epsilon} }[/math], כלומר כך ש- [math]\displaystyle{ \frac1{|a_n|}\gt \epsilon }[/math] . מש"ל.

3) ד'. [math]\displaystyle{ \infty }[/math] או [math]\displaystyle{ 0 }[/math] נק'. שתי דוגמאות: [math]\displaystyle{ a_n=n }[/math] , [math]\displaystyle{ a_n=1+\frac1{n} }[/math] . באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה [math]\displaystyle{ x=c }[/math] בחיתוך ונתבונן במקום [math]\displaystyle{ n=c+1 }[/math], כלומר בקטע [math]\displaystyle{ [c+1,\infty) }[/math] שלא מכיל את [math]\displaystyle{ c }[/math] כלל, בסתירה.

4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר [math]\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{matrix} x+2 &x\ne 9 \\ x+3 & x=9 \end{matrix}\right. }[/math], [math]\displaystyle{ g(x)=\left\{\begin{matrix} x+3 &x\ne 9 \\ x+2 & x=9 \end{matrix}\right. }[/math]

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן [math]\displaystyle{ f\bigl(g(x)\bigr)=\left\{\begin{matrix} x+5 &x\ne 9 \\ x+5 & x=9 \end{matrix}\right.=x+5 }[/math] והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות.

גם [math]\displaystyle{ f }[/math] וגם [math]\displaystyle{ g }[/math] אינן רציפות ב- [math]\displaystyle{ 9 }[/math] , ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.

5) עבור [math]\displaystyle{ r=1 }[/math] מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור [math]\displaystyle{ r=0 }[/math] הטור מתכנס (ל- [math]\displaystyle{ 0 }[/math]) מה שפוסל את ב'. עבור [math]\displaystyle{ r=-1 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ \frac1{n^{\frac12}} }[/math], שמתבדר לפי העיבוי כי [math]\displaystyle{ \frac12\lt 1 }[/math] . פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור [math]\displaystyle{ -1\lt r\lt 1 }[/math] , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': [math]\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} & x\le4 \\ 4x & \mbox{else}\end{matrix}\right. }[/math]

עולה ממש ואינה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ (-152.3,17) }[/math] .

הוכחת ב': בשלילה, [math]\displaystyle{ \exists x_1,x_2\in\R:x1\ne x_2 \wedge f(x_1)=f(x_2) }[/math].

בסתירה לכך ש- [math]\displaystyle{ f }[/math] עולה ממש, שהרי בה"כ [math]\displaystyle{ x_1\lt x_2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x_1)\lt f(x_2) }[/math] בסתירה להיותם שווים.

6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8. הוכחה: [math]\displaystyle{ f }[/math] עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] . כעת, לפי ההנחה [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0) }[/math] .

מכאן נקבל [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}{\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=\frac1{f'(x_0)} }[/math] , בהנחה שהנגזרת שונה מ- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] . לכן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{y\to y_0}{\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac1{f'(x_0)} }[/math] ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של [math]\displaystyle{ f }[/math] , ולכן הנגזרת שונה מ- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).

חלק ב'

7) [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1+x\cdot\cos(x)}{x+2} }[/math] .

[math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2}= }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{\bigl(\cos(x)-x\cdot\sin(x)\bigr)(x+2)-\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}=\frac{x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x)+2\cos(x)-2x\cdot\sin(x)-1-x\cdot\cos(x)}{(x+2)^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(0)=\frac{-0^2\cdot\sin(0)+2\cos(0)-0\sin(0)-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14 }[/math]

זהו שיפוע המשיק.

כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה [math]\displaystyle{ (0,\frac12) }[/math] , ונקבל: [math]\displaystyle{ y=\frac12+\frac14x }[/math] .

8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד [math]\displaystyle{ 3n }[/math]. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n}\le\frac1{2n}+\frac1{2n}-\frac1{n}=\frac2{2n}-\frac1{n}=0 }[/math] ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.

9) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ n }[/math] שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף. (המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)

בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של [math]\displaystyle{ 8\Big(\frac{n}{n+2}\Big)^n }[/math] .

[math]\displaystyle{ 8\Big(\frac{n}{n+2}\Big)^n=8\Big(1-\frac2{n+2}\Big)^n=8\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8\Bigg(\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{\frac{(n+2)}{2}}\Bigg)^2\cdot\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{-2} }[/math]

קיבלנו גורם 8, גורם [math]\displaystyle{ (e^{-1})^2 }[/math] , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא [math]\displaystyle{ \frac{8}{e^2}\gt 1 }[/math] , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.

חלק ג'

10) הפרכה: ניקח [math]\displaystyle{ a_n=\frac{(-1)^n}{n} }[/math] , [math]\displaystyle{ b_n=\frac{(-1)^n}{\log(n)} }[/math] . לפי לייבניץ הטור [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] מתכנס, וברור ש- [math]\displaystyle{ b_n }[/math] שואפת ל- [math]\displaystyle{ 0 }[/math] שכן [math]\displaystyle{ \log(n)\to\infty }[/math] , אבל המכפלה [math]\displaystyle{ \sum a_n\cdot b_n=\sum\frac1{n\cdot\ln(n)} }[/math] מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)

(נגדיר [math]\displaystyle{ b_1=0 }[/math] בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)

11) נגדיר פונקצייה [math]\displaystyle{ h }[/math] על-ידי [math]\displaystyle{ \forall x\in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2 }[/math] . כעת, נתבונן ב- [math]\displaystyle{ h(1),h(2),h(3) }[/math] :

[math]\displaystyle{ h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1\lt 0 }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0\gt 0 }[/math] , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- [math]\displaystyle{ h }[/math] יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] .

באותו האופן, [math]\displaystyle{ h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1\lt 0 }[/math] ולכן יש ל- [math]\displaystyle{ h }[/math] שורש בקטע [math]\displaystyle{ (-1,0) }[/math] . כל שורש של [math]\displaystyle{ h }[/math] הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.

12 זלצמן) הוכחה: מכיון ש- [math]\displaystyle{ \sin(2\cdot 0)=0 }[/math] אז ניתן להגדיר את [math]\displaystyle{ f }[/math] "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת [math]\displaystyle{ f }[/math]). [math]\displaystyle{ f(x)=\sin(2x) \ \forall x\ge 0 }[/math].

[math]\displaystyle{ f(x)=x\ \forall x\le 0 }[/math].

[math]\displaystyle{ \sin(2x) }[/math] רציפה ובעלת מחזור [math]\displaystyle{ p=\pi }[/math] ולכן רציפה במ"ש ב- [math]\displaystyle{ \R }[/math] ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- [math]\displaystyle{ \R }[/math] , ובפרט בקרן החיובית הסגורה [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math] .

ידוע ש- [math]\displaystyle{ x }[/math] רציפה במ"ש ב- [math]\displaystyle{ \R }[/math] ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- [math]\displaystyle{ \R }[/math] , ובפרט בקרן השלילית הסגורה [math]\displaystyle{ (-\infty,0] }[/math] .

לכן [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה במ"ש ב- [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math] וכמו כן ב- [math]\displaystyle{ (-\infty,0] }[/math] . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת ([math]\displaystyle{ 0 }[/math]) ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.

12 קליין) נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ h }[/math] על-ידי [math]\displaystyle{ \forall x\in I: h(x)=f(x)-x }[/math] .

[math]\displaystyle{ h }[/math] מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר [math]\displaystyle{ \exists c\in I: h'(c)=0 }[/math] . לכן [math]\displaystyle{ h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0 }[/math], ומכאן ש- [math]\displaystyle{ f'(x)=1 }[/math] . מש"ל.

12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]