אינטגרציה בחלקים

הגדרה

אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:

[math]\displaystyle{ \int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'} }[/math]

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:

[math]\displaystyle{ (f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f }[/math]

הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור f וg בעלות נגזרות רציפות.

(אחרת, אמנם יש קדומה ל[math]\displaystyle{ f'\cdot g+g'\cdot f }[/math], אבל לא בהכרח ל[math]\displaystyle{ f'\cdot g }[/math] ו [math]\displaystyle{ g'\cdot f }[/math] בנפרד.)

דוגמאות

א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

[math]\displaystyle{ \int{x\cdot\cos(x)}=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=\cos(x)\ ,\ g=x }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=\sin(x)\ ,\ g'=1 }[/math]

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים

[math]\displaystyle{ \int{x\cdot\cos(x)}=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C }[/math] .

ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה.

[math]\displaystyle{ \int{e^x\cdot\cos(x)}=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ I=\int{e^x\cdot\cos(x)} }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ 2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big) }[/math]

ומכאן יוצא

[math]\displaystyle{ \int{e^x\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C }[/math] .

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כנגזרת של הפונקציה [math]\displaystyle{ x }[/math] ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

[math]\displaystyle{ \int{\sqrt{a^2-x^2}}=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]

נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]

ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

[math]\displaystyle{ 2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}} }[/math]

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.