88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/רציפות במ"ש

רציפות במידה שווה

עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.

באופן אינטואיטיבי, אומרים כי פונקציה מתכנסת 'יותר מהר' אל הגבול שלה, אם הדלתא הנדרש לאפסילון הוא גדול יותר (כלומר הפונקציה קרובה לגבול בתחום יותר רחב). אנו רוצים להגדיר פונקציות אשר מהירות ההתכנסות שלהן דומה בכל נקודה בקטע מסוים.

הגדרה. פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] נקראת רציפה במידה שווה (רציפה במ"ש) בקטע A אם:

לכל [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שלכל זוג נקודות [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in A }[/math] המקיימות [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|\lt \epsilon }[/math] .

שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשויה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.

הערה: ברור שאם פונקציה רציפה במ"ש על קטע A, היא גם רציפה במ"ש על כל קטע המוכל ב-A.

דוגמאות.

נבחן את הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] , ונוכיח כי היא רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.

אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי [math]\displaystyle{ \Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|=|x_1-x_2|\lt \delta=\epsilon }[/math]

בדוגמא הבאה נלמד כי פונקציה מסוימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסוים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר. כפי שנראה בהמשך, כל פונקציה הרציפה על קטע סופי וסגור רציפה בו במ"ש, ואילו ישנן פונקציות רציפות שאינן רציפות במ"ש על כל ציר הממשיים.

ראשית, נביט ב [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] על הקטע הסופי [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] . יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] , אזי:

[math]\displaystyle{ \Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|=\Big|x_1^2-x_2^2\Big|=\Big|(x_1-x_2)(x_1+x_2)\Big|\le|x_1-x_2|\cdot2\max(|a|,|b|) }[/math]

כעת, אם ניקח [math]\displaystyle{ \delta=\frac{\epsilon}{2\max(|a|,|b|)} }[/math] נקבל את הדרוש.

עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x^2 }[/math] על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש.

ניקח [math]\displaystyle{ \epsilon=1 }[/math] . צריך להוכיח כי לכל [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|\ge1 }[/math] .

ניקח [math]\displaystyle{ x_2=x_1+\frac{\delta}{2} }[/math] ונראה כי אם נבחר את [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}\lt \delta }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|=\Big|x_1^2-x_2^2\Big|=\Big|(x_1-x_2)(x_1+x_2)\Big|=\frac{\delta}{2}\left|2x_1+\frac{\delta}{2}\right| }[/math]

ברור שאם נגדיל את [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] מספיק נקבל את הדרוש.

מבחנים לבדיקה האם פונקציה רציפה במ"ש

משפט - תנאי הכרחי (אך לא מספיק) לרציפות במ"ש

פונקציה הרציפה במ"ש על קטע רציפה שם, דהיינו אם הפונקציה לא רציפה או לא מוגדרת בנקודה אחת בקטע (לפחות) היא אינה רציפה שם במ"ש.

משפט - סכום רציפות במ"ש

סכום וכפל בקבוע של רציפות במ"ש - רציף במ"ש.

שימו לב, כפל אינו רציף במ"ש בהכרח, לדוגמא [math]\displaystyle{ x^2=x\cdot x }[/math] , כאשר הפונקציה משמאל אינה רציפה במ"ש על כל הממשיים, ואילו הפונקציות מימין כן.

משפט - תנאי שקול לאי-רציפות במ"ש - שיטת הסדרות

פונקציה f אינה רציפה במ"ש בקטע A אם"ם קיים זוג סדרות (עם אברים מ-A) המקיימות:

[math]\displaystyle{ |x_n-y_n|\rightarrow0 }[/math]

וגם

[math]\displaystyle{ \Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\rightarrow0 }[/math]

הוכחה. אם הפונקציה אינה רציפה במ"ש אזי קיים [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] יש זוג מספרים בקטע במרחק קטן מדלתא, כך שהפרש התמונות ביניהם גדול או שווה לאפסילון.

ניקח סדרת דלתאות כלשהי השואפת לאפס. הסדרות המורכבות מהזוגות המותאמים לדלתאות מקיימות את הדרוש.

בכיוון ההפוך, אם יש זוג סדרות כזה, כיון שסדרת ההפרשים בין התמונות אינה שואפת לאפס יש לה תת-סדרה שמתכנסת למספר שונה מאפס (הגבול העליון). תת הסדרות המתאימות של הזוגות יספקו זוג מתאים לכל דלתא, כאשר האפסילון יהיה חצי מגבול סדרת ההפרשים.

משפט - תנאי הכרחי (אבל לא מספיק) לרציפות במ"ש - חסימות על קטע סופי

פונקציה רציפה במ"ש על קטע סופי חסומה שם

דוגמא נגדית לכיוון ההפוך - [math]\displaystyle{ f(x)=\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) }[/math] חסומה אך אינה רציפה במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]

משפט קנטור

פונקציה רציפה על קטע סגור וסופי רציפה שם במ"ש

הוכחה

משפט - הרכבת פונקציות רציפות במ"ש

נניח [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה במ"ש על קטע המכיל את התמונה של פונקציה רציפה במ"ש [math]\displaystyle{ g }[/math] . אזי ההרכבה [math]\displaystyle{ f(g(x)) }[/math] רציפה במ"ש

משפט - חלוקה לתתי-קטעים

אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה במ"ש על הקטעים [math]\displaystyle{ (a,b],[b,c) }[/math] (לאו דווקא קצות סופיים), אזי היא רציפה במ"ש באיחוד [math]\displaystyle{ (a,c) }[/math]

הוכחה.

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] .

[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה במ"ש ב- [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] ולכן קיים [math]\displaystyle{ \delta_1\gt 0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x,y\in(a,b] }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ |x-y|\lt \delta_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|f(x)-f(y)\Big|\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math] .

[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה במ"ש ב- [math]\displaystyle{ [b,c) }[/math] ולכן קיים [math]\displaystyle{ \delta_2\gt 0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x,y\in[b,c) }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ |x-y|\lt \delta_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|f(x)-f(y)\Big|\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math] .

יהי [math]\displaystyle{ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]. נראה שלכל [math]\displaystyle{ x,y\in(a,c) }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ |x-y|\lt \delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|f(x)-f(y)\Big|\lt \epsilon }[/math] .

נניח [math]\displaystyle{ x,y\in(a,c) }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ |x-y|\lt \delta }[/math] . יתכנו שלושה מצבים:

א) [math]\displaystyle{ x,y\in(a,b] }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ |x-y|\lt \delta\le\delta_1 }[/math] ומכאן [math]\displaystyle{ \Big|f(x)-f(y)\Big|\lt \frac{\epsilon}{2}\lt \epsilon }[/math] .

ב) [math]\displaystyle{ x,y\in[b,c) }[/math] ומכיון ש- [math]\displaystyle{ |x-y|\lt \delta\le\delta_2 }[/math] נסיק ש- [math]\displaystyle{ \Big|f(x)-f(y)\Big|\lt \frac{\epsilon}{2}\lt \epsilon }[/math] .

ג) אחת מהנקודות ב- [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] והשניה ב- [math]\displaystyle{ [b,c) }[/math] . נניח בה"כ ש- [math]\displaystyle{ x\in(a,b] }[/math] ו- [math]\displaystyle{ y\in[b,c) }[/math] . מכאן [math]\displaystyle{ |x-b|\le|x-y|\lt \delta\le\delta_1 }[/math] וכן [math]\displaystyle{ |y-b|\le|x-y|\lt \delta\le\delta_2 }[/math] . מכאן [math]\displaystyle{ \Big|f(x)-f(b)\Big|\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math] וכמו כן [math]\displaystyle{ \Big|f(b)-f(y)\Big|\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math] . כעת ניעזר באי-שוויון המשולש כדי לקבל [math]\displaystyle{ \Big|f(x)-f(y)\Big|\le\Big|f(x)-f(b)\Big|+\Big|f(b)-f(y)\Big|\lt \epsilon }[/math]

משפט

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] , כך שהגבול

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=L }[/math]

קיים וסופי, אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה במ"ש על הקטע [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] .

הוכחה.

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] , יש למצוא [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] כך שאם המרחק בין זוג נקודות בקטע קטן מדלתא, המרחק בין התמונות שלהן תחת הפונקציה קטן מאפסילון.

לפי הנתון, קיים [math]\displaystyle{ M }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\gt M }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|f(x)-L\Big|\lt \frac{\epsilon}{2} }[/math] .

לכן לכל [math]\displaystyle{ x_1,x_2\gt M }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|\lt \epsilon }[/math] (בעזרת אי-שוויון המשולש).

כעת, לפי משפט קנטור [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [a,M+1] }[/math] , ולכן קיים דלתא כך שלכל זוג נקודות [math]\displaystyle{ a\le x_1,x_2\le M+1 }[/math] הקרובות עד-כדי דלתא, מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|f(x_1)-f(x_2)\Big|\lt \epsilon }[/math] .

אם ניקח מרחק שקטן או שווה ל- [math]\displaystyle{ \min\{\delta,1\} }[/math] , יתקיים שאם [math]\displaystyle{ |x_1-x_2|\lt \delta }[/math] אזי שתי הנקודות נמצאות בקטע [math]\displaystyle{ [M,\infty) }[/math] או בקטע [math]\displaystyle{ [a,M+1] }[/math] ולכן ההפרש בין התמונות שלהן תחת [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא קטן מאפסילון כפי שרצינו.

מסקנה - תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש - גבולות סופיים בקצות הקטע

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה רציפה על קטע לאו דווקא סופי, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע.

דוגמא נגדית לכיוון ההפוך - [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] על כל ציר הממשיים.

שימו לב: יש לוודא ראשית כי הפונקציה רציפה בכל נקודה בקטע, לפני שבודקים את הגבולות בקצוות.

משפט - תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש - נגזרת חסומה

פונקציה גזירה שנגזרתה חסומה בקטע, רציפה שם במ"ש.

דוגמא נגדית לכיוון ההפוך - [math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x} }[/math] בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]

משפט - תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש - מחזורית ורציפה

פונקציה מחזורית הרציפה על כל הממשיים, רציפה במ"ש על כל הממשיים.

שימו לב: פונקציה נקראת מחזורית אם קיים מספר ממשי p כך שלכל x ממשי מתקיים:

[math]\displaystyle{ f(x+p)=f(x) }[/math]

דוגמא.

[math]\displaystyle{ f(x)=e^{-\sin(x)} }[/math] רציפה במ"ש על כל הממשיים.

באופן דומה, כל הרכבת פונקציות רציפות, כאשר הפונקציה הכי פנימית מחזורית, רציפה במ"ש.

אלגוריתם לבדיקת רציפות במ"ש

תרגילים

בדוק רציפות במ"ש של הפונקציות הבאות בקטעים הנתונים:

1

[math]\displaystyle{ f(x)=x\sin(x) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]

פתרון. הפונקציה אינה רציפה במ"ש, נבנה שתי סדרות:

[math]\displaystyle{ x_n=\frac{1}{n}+2\pi n }[/math]

[math]\displaystyle{ y_n=2\pi n }[/math]

מתקיים

[math]\displaystyle{ x_n-y_n=\frac{1}{n}\to0 }[/math]

אבל

[math]\displaystyle{ f(x_n)-f(y_n)=\left(\frac{1}{n}+2\pi n\right)\sin\Big(\tfrac{1}{n}+2\pi n\Big)\to2\pi }[/math]

שכן

[math]\displaystyle{ n\sin\left(\tfrac{1}{n}\right)=\frac{\sin\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}\to1 }[/math]

ולכן ההפרש בין תמונות הנקודות גדול מאשר אחד (למשל) החל משלב מסוים, לכן הפונקציה אינה רציפה במ"ש.

2

[math]\displaystyle{ f(x)=\ln(x) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (1,\infty) }[/math]

נגזור את הפונקציה, לקבל [math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{x} }[/math] החסומה על-ידי 1 בקטע, ולכן הפונקציה רציפה במ"ש בקטע.

3

[math]\displaystyle{ f(x)=\ln(x) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]

הפונקציה אינה חסומה על הקטע הסופי [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] ולכן לא רציפה במ"ש שם, ובוודאי אינה רציפה במ"ש בכל קטע המכיל אותו.

4

[math]\displaystyle{ f(x)=x\ln(x) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]

נוכיח את שלילת רציפות במ"ש:

נבחר אפסילון קבוע. יהי [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]

אזי ניקח [math]\displaystyle{ x_0\gt 1,x_1:=x_0+\frac{\delta}{2} }[/math] ונביט בהגדרה:

[math]\displaystyle{ \Big|f(x_1)-f(x_0)\Big|=\Bigg|\left(x_0+\tfrac{\delta}{2}\right)\ln\left(x_0+\tfrac{\delta}{2}\right)-x_0\ln(x_0)\Bigg|=\left|\frac{\delta}{2}\ln\left(x_0+\tfrac{\delta}{2}\right)+x_0\ln\left(\frac{x_0+\tfrac{\delta}{2}}{x_0}\right)\right| }[/math]

מתקיים: [math]\displaystyle{ \frac{x_0+\frac{\delta}{2}}{x_0}\gt 1\to\ln(\frac{x_0+\frac{\delta}{2}}{x_0})\gt 0 }[/math]

ולכן מספיק למצוא x כך שיתקיים [math]\displaystyle{ \frac{\delta}{2}\ln\left(x_0+\tfrac{\delta}{2}\right)\ge\epsilon }[/math]

ניקח [math]\displaystyle{ x_0\gt e^{\frac{2\epsilon}{\delta}}-\frac{\delta}{2} }[/math] וסיימנו.

5

[math]\displaystyle{ \sin\left(\tfrac{1}{x}\right) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]

נמצא שתי סדרות שהמרחק ביניהן שואף לאפס, אבל המרחק בין הפונקציה עליהן אינו שואף לאפס.

[math]\displaystyle{ x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n} }[/math]

[math]\displaystyle{ y_n=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n} }[/math]

רואים כי מתקיים: [math]\displaystyle{ |x_n-y_n|\to0 }[/math]

וגם

[math]\displaystyle{ \Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|=2\not\to0 }[/math]

ולכן הפונקציה אינה רציפה במ"ש בקטע

6

[math]\displaystyle{ x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]

לפונקציה גבולות סופיים בשני קצוות הקטע, היא רציפה בכל נקודה בקטע ולכן רציפה שם במ"ש