משפט ערך הביניים

משפט ערך הביניים

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה הרציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] . אזי לכל [math]\displaystyle{ f(a)\lt y\lt f(b) }[/math] או [math]\displaystyle{ f(a)\gt y\gt f(b) }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f(c)=y }[/math] .

הוכחה

ראשית, נוכיח משפט חלש יותר:

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה הרציפה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] . אזי אם [math]\displaystyle{ f(a)\cdot f(b)\lt 0 }[/math] קיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math] .

כלומר, פונקציה רציפה חייבת להתאפס בין נקודה בה היא מקבלת ערך שלילי לנקודה בה היא מקבלת ערך חיובי. (היא לא יכולה "לדלג" על ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] .)

הוכחה: נגדיר [math]\displaystyle{ I_1=[a,b] }[/math] . כעת, אם [math]\displaystyle{ f\left(\tfrac{a+b}{2}\right)=0 }[/math] סיימנו.

אחרת, נחלק את הקטע לשניים, וניקח [math]\displaystyle{ I_2=\left[a,\tfrac{a+b}{2}\right] }[/math] או [math]\displaystyle{ I_2=\left[\tfrac{a+b}{2},b\right] }[/math] כך שהפונקציה תקבל סימנים מנוגדים בקצות הקטע.

נחלק שוב את הקטע באופן דומה עד שנקבל נקודה בה הפונקציה מתאפסת, או שנקבל סדרה של קטעים המוכלים זה בזה, בעלי אורך שואף לאפס (שכן אנחנו מחלקים את האורך בשתיים בכל פעם).

אם קיבלנו סדרה אינסופית של קטעים [math]\displaystyle{ I_n=[a_n,b_n] }[/math], היא מקיימת את הלמה של קנטור ויש נקודת גבול משותפת [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=c\in[a,b] }[/math]

כעת, כיון שהפונקציה רציפה, לפי היינה

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=\lim\limits_{n\to\infty}f(b_n)=f(c) }[/math]

אבל כיון שהפונקציה מקבל אינסוף ערכים שליליים על סדרות אלה, וגם אינסוף ערכים חיוביים, הגבול חייב להיות אפס, כלומר

[math]\displaystyle{ f(c)=0 }[/math]

כפי שרצינו.

כעת נשוב למקרה הכללי. נניח בלי הגבלת הכלליות כי [math]\displaystyle{ f(a)\lt f(b) }[/math] .

נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-y }[/math] . כיון ש- [math]\displaystyle{ y }[/math] בין [math]\displaystyle{ f(a),f(b) }[/math] ברור כי [math]\displaystyle{ g(a)\cdot g(b)\lt 0 }[/math] .

לפי המשפט לעיל, קיימת [math]\displaystyle{ c\in[a,b] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ g(c)=0 }[/math] , כלומר [math]\displaystyle{ f(c)=y }[/math] כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]