אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)

קישור לבחינה עצמה: המבחן

אתם מוזמנים לעזור בפתרון, לשנות, לתקן ולהעיר הערות.

שאלה 1

יהי [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n }[/math] טור חיובי.

א. הראה שאם [math]\displaystyle{ \{a_n\}_{n=1}^\infty }[/math] סדרה המקיימת לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] : [math]\displaystyle{ \Big|a_{n+1}-a_n\Big|\lt b_n }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n\lt \infty }[/math] אזי הסדרה מתכנסת.

הוכחה

אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n\lt \infty }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n }[/math] טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.

נוכיח כי הסדרה הנה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] . לפי קריטריון קושי קיים [math]\displaystyle{ M\in\N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ p\in\N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\displaystyle\sum_{k=M}^{M+p}b_k\right|\lt \epsilon }[/math] .

יהיו [math]\displaystyle{ n,m\gt M }[/math] , אזי:

[math]\displaystyle{ \begin{align} |a_n-a_m|&=\bigg|a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-\cdots+a_{m+1}-a_m\bigg|\\ &\le\Big|a_n-a_{n-1}\Big|+\Big|a_{n-1}-a_{n-2}\Big|+\cdots+\Big|a_{m+1}-a_m\Big|\\ &\le b_{n-1}+b_{n-2}+\cdots+b_m=\sum_{k=m}^{n-1}b_k\le\sum_{k=M}^{n-1}b_k\lt \epsilon \end{align} }[/math]

הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.

דרך אחרת

נשים לב כי [math]\displaystyle{ a_0=0,a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) }[/math] , וכיון שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] כך גם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקיים.

ב. אם הטור [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n }[/math] אז קיימת סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\}_{n=1}^\infty }[/math] המקיימת לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] : [math]\displaystyle{ \Big|a_{n+1}-a_n\Big|\lt b_n }[/math] וגם מתבדרת.

הוכחה

נביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): [math]\displaystyle{ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ S_1=0 }[/math]

הטור [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתבדר ולכן לפי ההגדרה (כי הוספת איבר אחד בהתחלה אינה משפיעה על התכנסות או התבדרות הסדרה) הסדרה מתבדרת.

כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: [math]\displaystyle{ \Big|S_{n+1}-S_n\Big|=\left|\sum\limits_{k=1}^n b_k-\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k\right|=|b_n|=b_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

תיקון

תהי [math]\displaystyle{ S_n }[/math] סדרת הסכומים החלקיים של הטור [math]\displaystyle{ \sum (b_n-n^2) }[/math] הטור מתבדר כהפרש של טור מתבדר בטור מתכנס מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|s_n-s_{n-1}\Big|=b_n-n^2\lt b_n }[/math]

שאלה 2

בדוק התכנסות והתכנסות בהחלט של הטורים הבאים:

א. [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n} }[/math]

פתרון

ראשית נבדוק התכנסות בהחלט: [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\left|(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}\right|=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln(n)\gt 1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] ולכן לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] שכזה מתקיים: [math]\displaystyle{ \frac1n\le\frac{\ln(n)}{n} }[/math] ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיון שהטור ההרמוני מתבדר אז [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n} }[/math] מתבדר.

ידוע [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0 }[/math] (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לופיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ:

נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{\ln(x)}{x} }[/math] , מספיק להראות כי [math]\displaystyle{ f'(x)\le0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\ge3 }[/math] .

[math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2} }[/math] וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור [math]\displaystyle{ x\ge e }[/math] ובפרט עבור [math]\displaystyle{ x\ge3 }[/math] .

ב. [math]\displaystyle{ \sum (-1)^n\cdot\sin\left(\frac1{n^2}\right) }[/math]

פתרון:

נראה התכנסות בהחלט לפי מבחן ההשוואה הגבולי

[math]\displaystyle{ \frac{\sin\left(\frac1{n^2}\right)}{\frac1{n^2}}\to 1 }[/math] ולכן הטורים חברים.

מכיון [math]\displaystyle{ \sum\frac{1}{n^2} }[/math] מתכנס אז גם [math]\displaystyle{ \sum \sin\left(\frac1{n^2}\right) }[/math] .

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

ג. [math]\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{(2n)!}{n^{2n}} }[/math]

פתרון:

נוכיח התכנסות בהחלט לפי מבחן המנה של ד'לאמבר

[math]\displaystyle{ \frac{\frac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\frac{(2n)!}{n^{2n}}}=\frac{\frac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\frac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot (\frac{n}{n+1})^{2n+2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(1-\frac1{n+1}\right)^{2n+2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot \Bigg(\bigg(1-\frac1{n+1}\bigg)^{n+1}\Bigg)^2\to \frac4{e^2}\lt 1 }[/math]

ולכן הטור מתכנס בהחלט!

שאלה 3

ציטוט משפטים

שאלה 4

יש לבדוק האם הפונקציות הבאות רבמ"ש בקטעים הנתונים:

א. [math]\displaystyle{ f(x)=x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]

נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)=0 }[/math] , חסומה כפול [math]\displaystyle{ 0 }[/math] .

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)=f(1)=\sin(1) }[/math] . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

ב. [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מסעיף א' בקרן [math]\displaystyle{ (1,\infty) }[/math]

בדומה לסעיף הקודם, נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}x^2\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)\cdot \lim_{x\to\infty}\frac1{x}=1\cdot 0=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)=f(1)=\sin(1) }[/math] . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

ג. [math]\displaystyle{ g(x)=\sin(x^2) }[/math] רבמ"ש בקרן [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]

נניח בשלילה שהפונקציה רבמ"ש. הפונקציה [math]\displaystyle{ h(x)=\arcsin(x) }[/math] רציפה בתחום [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] ולכן רבמ"ש בו.

מכיון שהתחום [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] הנו התמונה של [math]\displaystyle{ g }[/math], ההרכבה של הפונקציות רבמ"ש (לפי משפט).

לכן [math]\displaystyle{ (h\circ g)(x)=\arcsin\big(\sin(x^2)\big)=x^2 }[/math] רבמ"ש, בסתירה להוכחה מהתירגול.

פתרון נוסף (עם סדרות):

נגדיר את שתי הסדרות הבאות:

[math]\displaystyle{ x_n=\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi n} }[/math] ואת הסדרה [math]\displaystyle{ y_n=\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi n} }[/math] ונמשיך מכאן...

שאלה 5

[math]\displaystyle{ f(x):=2-x }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\in\Q }[/math]

[math]\displaystyle{ f(x):=\frac1{x} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\notin\Q }[/math]

צריך למצוא עבור אילו ערכים הפונקציה רציפה ועבור אילו ערכים הפונקציה גזירה.

פתרון: נתחיל עם הנקודות עבורן הפונקציה רציפה, שכן זהו תנאי הכרחי לגזירות.

הנקודות בהן הפונקציה רציפה הן הנקודות בהן מתקיים השוויון: [math]\displaystyle{ 2-x=\frac1{x} }[/math]

בכל שאר הנקודות, ניתן לבנות שתי סדרות: אחת של רציונאליים ואחת של אי-רציונאליים שתמונותיהן יתכנסו לשני ערכים שונים ולכן היא אינה רציפה בהן.

במקרה של שוויון, כל סדרה של רציונאליים, אי-רציונאליים או שילוב שלהם תתכנס ל[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בין אם הוא רציונאלי או לא.

נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: [math]\displaystyle{ x=1 }[/math], בנקודה זו הפונקציה רציפה.

כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה אזי בהכרח [math]\displaystyle{ (2-x)'(1)=(\frac1{x})'(1) }[/math] מנימוקים דומים, כלומר:

מכיון שהגבולות [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to 1}\frac{\frac1{x}-1}{x-1},\lim\limits_{x\to 1}\frac{(2-x)-1}{x-1}\in\R }[/math]

אז לפי היינה התמונות של כל הסדרות שמתכנסות ל- [math]\displaystyle{ 1 }[/math] יתכנסו לגבולות האלו. אם הפונקציה גזירה, בהכרח הגבול קיים ולכן כל הסדרות התמונות חייבות להתכנס לאותה נקודה. על כל פנים, נחזור לשוויון שהצגנו לעיל:

[math]\displaystyle{ (2-x)'(1)=-1=-\frac1{1^2}=\left(-\frac1{x^2}\right)(1)=\left(\frac1{x}\right)'(1) }[/math]

ולכן הפונקציה גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ x=1 }[/math].

שאלה 6

א.

[math]\displaystyle{ \Bigg(x^{\cos\left(e^{x^2}\right)}\Bigg)'=\Bigg(e^{\cos\left(e^{x^2}\right)\cdot\ln(x)}\Bigg)'=e^{\cos\left(e^{x^2}\right)\cdot\ln(x)}\cdot\Bigg(\cos\left(e^{x^2}\right)\cdot\ln(x)\Bigg)'=x^{\cos\left(e^{x^2}\right)}\cdot\Bigg(-2x\cdot e^{x^2}\cdot\ln(x)\cdot\sin\left(e^{x^2}\right)+\frac{\cos\left(e^{x^2}\right)}{x}\Bigg) }[/math]

ב.

[math]\displaystyle{ \Bigg(\arctan\left(\frac{\ln(x)}{1+x^2}\right)\Bigg)'=\frac{\left(\frac{\ln(x)}{1+x^2}\right)'}{1+\left(\frac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}=\frac{\frac{\frac{1+x^2}{x}-2x\cdot\ln(x)}{(1+x^2)^2}}{1+\left(\frac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}=\frac{\frac{1+x^2-4x^2\ln(x)}{x(1+x^2)^2}}{\frac{(x^2+1)^2+\ln^2(x)}{(1+x^2)^2}}=\frac{1+x^2-4x^2\ln(x)}{x(x^2+1)^2+x\cdot\ln^2(x)} }[/math]

ג.

[math]\displaystyle{ \Big(x^{-n}+n^{-x}\Big)'=-nx^{-n-1}-\ln(n)\cdot n^{-x} }[/math]