אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)

קישור לבחינה עצמה: המבחן

אתם מוזמנים לעזור בפתרון, לשנות, לתקן ולהעיר הערות.

שאלה 1

יהי [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n }[/math] טור חיובי.

א. הראה שאם [math]\displaystyle{ \{a_n\}_{n=1}^\infty }[/math] סדרה המקיימת לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] : [math]\displaystyle{ \Big|a_{n+1}-a_n\Big|\lt b_n }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n\lt \infty }[/math] אזי הסדרה מתכנסת.

הוכחה

אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n\lt \infty }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n }[/math] טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.

נוכיח כי הסדרה הנה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] . לפי קריטריון קושי קיים [math]\displaystyle{ M\in\N }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ p\in\N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left|\displaystyle\sum_{k=M}^{M+p}b_k\right|\lt \epsilon }[/math] .

יהיו [math]\displaystyle{ n,m\gt M }[/math] , אזי:

[math]\displaystyle{ \begin{align} |a_n-a_m|&=\bigg|a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-\cdots+a_{m+1}-a_m\bigg|\\ &\le\Big|a_n-a_{n-1}\Big|+\Big|a_{n-1}-a_{n-2}\Big|+\cdots+\Big|a_{m+1}-a_m\Big|\\ &\le b_{n-1}+b_{n-2}+\cdots+b_m=\sum_{k=m}^{n-1}b_k\le\sum_{k=M}^{n-1}b_k\lt \epsilon \end{align} }[/math]

הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.

דרך אחרת

נשים לב כי [math]\displaystyle{ a_0=0,a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) }[/math] , וכיון שהטור הזה מתכנס בהחלט כי בהחלט הוא נשלט על-ידי [math]\displaystyle{ \sum b_n }[/math] כך גם [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מתכנסת כי התכנסות של טור שקולה להתכנסות של הסכומים החלקיים.

ב. אם הטור [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n }[/math] אז קיימת סדרה [math]\displaystyle{ \{a_n\}_{n=1}^\infty }[/math] המקיימת לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] : [math]\displaystyle{ \Big|a_{n+1}-a_n\Big|\lt b_n }[/math] וגם מתבדרת.

הוכחה

נביט בסדרת הסכומים החלקיים של הטור (עם שינוי קל): [math]\displaystyle{ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ S_1=0 }[/math]

הטור [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתבדר ולכן לפי ההגדרה (כי הוספת איבר אחד בהתחלה אינה משפיעה על התכנסות או התבדרות הסדרה) הסדרה מתבדרת.

כמו כן, קל לראות כי מתקיים התנאי: [math]\displaystyle{ \Big|S_{n+1}-S_n\Big|=\left|\sum\limits_{k=1}^n b_k-\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k\right|=|b_n|=b_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

תיקון

תהי [math]\displaystyle{ S_n }[/math] סדרת הסכומים החלקיים של הטור [math]\displaystyle{ \sum (b_n-n^2) }[/math] הטור מתבדר כהפרש של טור מתבדר בטור מתכנס מתקיים [math]\displaystyle{ \Big|s_n-s_{n-1}\Big|=b_n-n^2\lt b_n }[/math]

שאלה 2

בדוק התכנסות והתכנסות בהחלט של הטורים הבאים:

א. [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n} }[/math]

פתרון

ראשית נבדוק התכנסות בהחלט: [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left|(-1)^n\cdot\dfrac{\ln(n)}{n}\right|=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln(n)\gt 1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge3 }[/math] ולכן לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] שכזה מתקיים: [math]\displaystyle{ \frac1n\le\frac{\ln(n)}{n} }[/math] ולפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מכיון שהטור ההרמוני מתבדר אז [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln(n)}{n} }[/math] מתבדר.

ידוע [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln(n)}{n}=0 }[/math] (ואם אתם לא מאמינים לי אפשר להוכיח את זה עם לופיטל) ולכן מספיק להוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת כדי להסיק התכנסות בתנאי לפי לייבניץ:

נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x} }[/math] , מספיק להראות כי [math]\displaystyle{ f'(x)\le0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\ge3 }[/math] .

[math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2} }[/math] וקל לראות שהתנאי לעיל מתקיים עבור [math]\displaystyle{ x\ge e }[/math] ובפרט עבור [math]\displaystyle{ x\ge3 }[/math] .

ב. [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\sin\left(\tfrac{1}{n^2}\right) }[/math]

פתרון

נראה התכנסות בהחלט לפי מבחן ההשוואה הגבולי

[math]\displaystyle{ \frac{\sin\left(\frac{1}{n^2}\right)}{\frac1{n^2}}\to1 }[/math] ולכן הטורים חברים.

מכיון [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} }[/math] מתכנס אז גם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\left(\tfrac{1}{n^2}\right) }[/math] .

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

ג. [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\frac{(2n)!}{n^{2n}} }[/math]

פתרון

נוכיח התכנסות בהחלט לפי מבחן המנה של ד'לאמבר

[math]\displaystyle{ \begin{align}\dfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\dfrac{(2n)!}{n^{2n}}}&=\dfrac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)^{2n+2}}}{\dfrac{(2n)!\cdot n^2}{n^{2n+2}}}=\frac{(2n+2)!}{(2n)!\cdot n^2}\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n+2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{2n+2}\\&=\frac{2(n+1)(2n+1)}{n^2}\cdot\left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)^2\to\frac{4}{e^2}\lt 1\end{align} }[/math]

ולכן הטור מתכנס בהחלט!

שאלה 3

ציטוט משפטים

שאלה 4

יש לבדוק האם הפונקציות הבאות רבמ"ש בקטעים הנתונים:

א. [math]\displaystyle{ f(x)=x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]

נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=0 }[/math] , חסומה כפול 0.

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1) }[/math] . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

ב. [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מסעיף א' בקרן [math]\displaystyle{ (1,\infty) }[/math]

בדומה לסעיף הקודם, נראה שהגבולות בקצוות הקטע סופיים ולכן הפונקציה רבמ"ש:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=\lim_{x\to\infty}x^2\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=1\cdot 0=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}x\sin\left(\tfrac{1}{x^2}\right)=f(1)=\sin(1) }[/math] . מזאת מכיון שהפונקציה היא מנה, הרכבה וכפל של פונקציות רציפות.

ג. [math]\displaystyle{ g(x)=\sin(x^2) }[/math] רבמ"ש בקרן [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math]

נניח בשלילה שהפונקציה רבמ"ש. הפונקציה [math]\displaystyle{ h(x)=\arcsin(x) }[/math] רציפה בתחום [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] ולכן רבמ"ש בו.

מכיון שהתחום [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math] הנו התמונה של [math]\displaystyle{ g }[/math] , ההרכבה של הפונקציות רבמ"ש (לפי משפט).

לכן [math]\displaystyle{ (h\circ g)(x)=\arcsin\big(\sin(x^2)\big)=x^2 }[/math] רבמ"ש, בסתירה להוכחה מהתירגול.

פתרון נוסף (עם סדרות)

נגדיר את שתי הסדרות הבאות:

[math]\displaystyle{ x_n=\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi n} }[/math] ואת הסדרה [math]\displaystyle{ y_n=\sqrt{\frac{\pi}{2}+2\pi n} }[/math] ונמשיך מכאן...

שאלה 5

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}2-x&x\in\Q\\\dfrac{1}{x}&x\notin\Q\end{cases} }[/math]

צריך למצוא עבור אילו ערכים הפונקציה רציפה ועבור אילו ערכים הפונקציה גזירה.

פתרון

נתחיל עם הנקודות עבורן הפונקציה רציפה, שכן זהו תנאי הכרחי לגזירות.

הנקודות בהן הפונקציה רציפה הן הנקודות בהן מתקיים השוויון: [math]\displaystyle{ 2-x=\frac{1}{x} }[/math]

בכל שאר הנקודות, ניתן לבנות שתי סדרות: אחת של רציונאליים ואחת של אי-רציונאליים שתמונותיהן יתכנסו לשני ערכים שונים ולכן היא אינה רציפה בהן.

במקרה של שוויון, כל סדרה של רציונאליים, אי-רציונאליים או שילוב שלהם תתכנס ל- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] בין אם הוא רציונאלי או לא.

נפתור את המשוואה ונקבל תוצאה יחידה: [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] , בנקודה זו הפונקציה רציפה.

כעת נבדוק האם היא גזירה בנקודה זו, אם הפונקציה גזירה אזי בהכרח [math]\displaystyle{ (2-x)'(1)=(\frac1{x})'(1) }[/math] מנימוקים דומים, כלומר:

מכיון שהגבולות [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to1}\dfrac{\frac{1}{x}-1}{x-1},\lim\limits_{x\to1}\dfrac{(2-x)-1}{x-1}\in\R }[/math]

אז לפי היינה התמונות של כל הסדרות שמתכנסות ל-1 יתכנסו לגבולות האלו. אם הפונקציה גזירה, בהכרח הגבול קיים ולכן כל הסדרות התמונות חייבות להתכנס לאותה נקודה. על כל פנים, נחזור לשוויון שהצגנו לעיל:

[math]\displaystyle{ (2-x)'(1)=-1=-\frac{1}{1^2}=\left(-\frac{1}{x^2}\right)(1)=\left(\frac{1}{x}\right)'(1) }[/math]

ולכן הפונקציה גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] .

שאלה 6

א.

[math]\displaystyle{ \begin{align}\frac{d}{dx}\left(x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\right)&=\frac{d}{dx}\left(e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)}\right)\\&=e^{\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)}\cdot\frac{d}{dx}\left(\cos\big(e^{x^2}\big)\cdot\ln(x)\right)=x^{\cos\big(e^{x^2}\big)}\cdot\left(\frac{\cos\big(e^{x^2}\big)}{x}-2x\cdot e^{x^2}\cdot\ln(x)\cdot\sin\big(e^{x^2}\big)\right)\end{align} }[/math]

ב.

[math]\displaystyle{ \begin{align}\frac{d}{dx}\left(\arctan\left(\frac{\ln(x)}{1+x^2}\right)\right)&=\dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)}{1+\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}\\&=\dfrac{\dfrac{\dfrac{1+x^2}{x}-2x\cdot\ln(x)}{(1+x^2)^2}}{1+\left(\dfrac{\ln(x)}{1+x^2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1+x^2-4x^2\ln(x)}{x(1+x^2)^2}}{\dfrac{(1+x^2)^2+\ln^2(x)}{(1+x^2)^2}}=\frac{1+x^2\big(1-4\ln(x)\big)}{x\big((1+x^2)^2+\ln^2(x)\big)}\end{align} }[/math]

ג.

[math]\displaystyle{ \Big(x^{-n}+n^{-x}\Big)'=-nx^{-n-1}-\ln(n)\cdot n^{-x} }[/math]