קמירות
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־06:18, 14 בפברואר 2017 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
הגדרה
תהי פונקציה ממשית הגזירה בנקודה
. אם קיימת סביבת
עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה
, אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב-
.
באופן דומה, אם קיימת סביבת עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה
, אומרים כי הפונקציה קמורה כלפי מטה ב-
.
(ראו גם נקודת פיתול.)
תנאי מספיק
אם גזירה פעמיים ברציפות בנקודה
, והנגזרת השניה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב-
. אם הנגזרת השניה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.
- הוכחה
לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:
מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב- קיימת סביבת
עבורה לכל
מתקיים
. באופן דומה עבור נגזרת שניה שלילית.