88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים

חזרה לטורים

טורים חיוביים

טור חיובי הנו טור שכל אבריו אי-שליליים. נשים לב שכיוון שסדרת הסכומים החלקיים מוגדרת על-ידי נוסחת הנסיגה [math]\displaystyle{ S_{N+1}=S_N+a_{N+1} }[/math] , רואים באופן מיידי כי היא מונוטונית עולה:

[math]\displaystyle{ S_{N+1}-S_N=a_{N+1}\ge0 }[/math]

על כן טורים חיוביים מתכנסים או שואפים לאינסוף.

למטה נראה מבחנים שונים להתכנסות טורים חיוביים. תבחנו את עצמכם באמצעות הדוגמאות האלו.

מבחן ההשוואה הראשון

יהיו [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] טורים חיוביים כך ש- [math]\displaystyle{ \forall n:a_n\ge b_n }[/math]

אם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס אזי גם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתכנס.

אם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתבדר אזי גם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתבדר.

הוכחה.

נסמן את סדרות הסכומים החלקיים

[math]\displaystyle{ \displaystyle\begin{align}A_N:&=\sum_{k=1}^N a_k\\B_N:&=\sum_{k=1}^N b_k\end{align} }[/math]

לפי הנתון [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] הוא טור חיובי מתכנס, ולכן סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה [math]\displaystyle{ \displaystyle A_N=\sum_{k=1}^N a_k\le M }[/math] עבור [math]\displaystyle{ M }[/math] כלשהוא.

אבל [math]\displaystyle{ \forall n:a_n\ge b_n }[/math] , ולכן

[math]\displaystyle{ \displaystyle B_N=\sum_{k=1}^N b_k=b_1+\cdots+b_N\le a_1+\cdots+a_N=\sum_{k=1}^N a_k=A_N\le M }[/math]

כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] חסומה, ולכן הטור מתכנס.

החלק השני של המשפט הוא פשוט הפוך על הפוך של החלק הראשון, לפי לוגיקה בפסוקים: [math]\displaystyle{ a\to b\equiv\bar b\to\bar a }[/math] .

מבחן ההשוואה הגבולי

יהיו [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] טורים חיוביים כך ש- [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=L }[/math]

אם [math]\displaystyle{ L=0 }[/math]

אם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס אזי גם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתבדר אזי גם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתבדר

אם [math]\displaystyle{ L\ne0 }[/math]

הטורים חברים כלומר מתכנסים או מתבדרים יחדיו (במתמטיקה: [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתכנס)

מבחן דלאמבר/המנה

יהי [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] טור חיובי.

אם [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\lt 1 }[/math] הטור מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \liminf\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\gt 1 }[/math] הטור מתבדר (כולל אינסוף)

אם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1 }[/math] לא ניתן לדעת

(הטורים [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} }[/math] מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

מבחן השורש של קושי

יהי [math]\displaystyle{ \sum a_n }[/math] טור חיובי.

אם [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\lt 1 }[/math] הטור מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}\gt 1 }[/math] הטור מתבדר (כולל אינסוף)

אם [math]\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1 }[/math] לא ניתן לדעת

(הטורים [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} }[/math] מהווים דוגמאות לטור מתכנס וטור מתבדר המקיימים תנאי זה)

שימו לב שבשני המבחנים הקודמים לא מספיק להוכיח כי

[math]\displaystyle{ \forall n:\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\lt 1 }[/math] או [math]\displaystyle{ \forall n:\sqrt[n]{a_n}\lt 1 }[/math]

שכן גבול סדרה שאבריה קטנים ממש מ-1, עשוי להיות 1. במקרה והגבול הוא 1, לא ניתן לקבוע לפי המבחנים האם הגבול מתכנס.

לעומת זאת, אם המנה לעיל גדולה מ-1, סימן שהסדרה מונוטונית עולה ולכן לא שואפת ל-0 ולכן הטור מתבדר. באופן דומה אם השורש ה- [math]\displaystyle{ n }[/math] גדול מ-1 אזי אברי הסדרה גדולים מ-1 ולכן הסדרה אינה שואפת ל-0 והטור אינו מתכנס.

מבחן העיבוי

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0.

הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס אם"ם הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^na_{2^n} }[/math] מתכנס (הם חברים)

כלומר, אנו זורקים את כל האברים מהטור פרט לאלה הנמצאים במקומות שהם חזקה של 2. את האברים הנותרים אנו כופלים בחזקה המתאימה של 2.

מבחן ראבה

יהי [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] טור חיובי.

אם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)\gt 1 }[/math] הטור מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)\lt 1 }[/math] הטור מתבדר

אם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}n\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=1 }[/math] לא ניתן לדעת

מבחן לוגריתמי

יהי [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] טור חיובי.

אם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}\gt 1 }[/math] הטור מתכנס

אם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}\lt 1 }[/math] הטור מתבדר

אם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}=1 }[/math] לא ניתן לדעת

הערה: שימו לב כי אם [math]\displaystyle{ -\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}\gt 1 }[/math] אז לא בהכרח מתקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}-\dfrac{\ln(a_n)}{\ln(n)}\gt 1 }[/math] ; יש סדרות שכל אבריהן גדולים מ-1, אך מתכנסות ל-1.

דוגמא.

קבע האם הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln(n)} }[/math] מתכנס.

פתרון.

כיון שהסדרה [math]\displaystyle{ \dfrac1{n\ln(n)} }[/math] חיובית, מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln(2^n)} }[/math]

נזכור כי [math]\displaystyle{ \ln(2^n)=n\ln(2) }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln(2^n)}=\frac1{n\ln(2)} }[/math]

אבל זה סה"כ קבוע כפול הטור ההרמוני, וידוע כי הטור ההרמוני מתבדר.

לכן סה"כ הטור מתבדר.

דוגמא.

קבע האם הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln^2(n)} }[/math] מתכנס.

פתרון.

כיון שהסדרה [math]\displaystyle{ \dfrac1{n\ln^2(n)} }[/math] חיובית מונוטונית ושואפת ל-0, ניתן להפעיל את מבחן העיבוי. לכן, הטור בו אנו מעוניינים מתכנס אם"ם הטור הבא מתכנס:

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{2^n\ln^2(2^n)} }[/math]

בדומה לתרגיל הקודם, אנו מקבלים:

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\ln^2(2^n)}=\frac1{n^2\ln^2(2)} }[/math]

אבל זה קבוע כפול הטור המתכנס [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} }[/math]

ולכן סה"כ הטור מתכנס.

דוגמא.

קבע עבור אילו ערכים של אלפא הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^\alpha} }[/math] מתכנס.

פתרון.

הסדרה מקיימת את תנאי מבחן העיבוי, על כן נפעיל אותו. הטור שאנו חוקרים חבר של הטור:

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\frac1{(2^n)^\alpha}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n(\alpha-1)}}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{2^{\alpha-1}}\right)^n }[/math]

זה טור הנדסי ולכן מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \dfrac1{2^{\alpha-1}}\lt 1 }[/math] וזה נכון אם"ם [math]\displaystyle{ \alpha-1\gt 0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ \alpha\gt 1 }[/math] .