88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/5

חזרה לדוגמאות

• יהיו [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] טורים חיוביים כך ש- [math]\displaystyle{ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le\dfrac{b_{n+1}}{b_n} }[/math] .

הוכיחו כי אם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתכנס אזי גם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס

הוכחה.

אנו רואים מהנתון שקצב הגדילה של הטור [math]\displaystyle{ b_n }[/math] גדול מזה של [math]\displaystyle{ a_n }[/math] , ואנו יודעים שכפל על-ידי קבוע שונה מ-0 אינו משנה את התכנסות הטור. לכן נכפול בקבוע כך שהטורים יתחילו שניהם באבר ששוה ל-1, ונקבל שהטור [math]\displaystyle{ b_n }[/math] גדול מהטור [math]\displaystyle{ a_n }[/math] :

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{b_n}{b_1} }[/math] מתכנס.

צריך להוכיח כי

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{a_1} }[/math] מתכנס.

אבל קל להוכיח באינדוקציה כי

[math]\displaystyle{ \dfrac{b_n}{b_1}\ge\dfrac{a_n}{a_1} }[/math]

אכן,

[math]\displaystyle{ \dfrac{b_{n+1}}{b_1}=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\cdot\dfrac{b_n}{b_1}\ge\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\cdot\dfrac{a_n}{a_1}=\dfrac{a_{n+1}}{a_1} }[/math]

(את הנחת האינדוקציה קיבלנו בזכות הכפל בקבוע, שכן [math]\displaystyle{ \dfrac{a_1}{a_1}=\dfrac{b_1}{b_1} }[/math])

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון אנו מקבלים את שרצינו.