88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/6

חזרה לדוגמאות

• [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^{n-2}}{e^nn!} }[/math]

נביט בחלוקה

[math]\displaystyle{ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\dfrac{(n+1)^{n-1}}{e^{n+1}(n+1)!}}{\dfrac{n^{n-2}}{e^nn!}}=\dfrac{(n+1)^{n-1}}{e^{n+1}(n+1)!}\cdot\dfrac{e^nn!}{n^{n-2}}=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{e} }[/math]

כיון שהסדרה [math]\displaystyle{ \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n }[/math] שואפת למספר e מלמטה, מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{e}\le\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-2}}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n}=\dfrac{\dfrac1{(n+1)^2}}{\dfrac1{n^2}} }[/math]

כיון שהטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} }[/math] מתכנס, יחד עם התרגיל הקודם, קיבלנו כי טור זה מתכנס.