אנליזת פורייה - ארז שיינר

תקציר ההרצאות

• ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס.

הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה

הקדמה - גלים

• מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
• לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
  • תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
  • אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
  • פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
• אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

• מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
• למדנו במד"ר על המשוואה [math]\displaystyle{ y''=-k^2y }[/math] המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
• זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
• הפתרון הכללי למד"ר הוא [math]\displaystyle{ y=a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math].
• הקבוע [math]\displaystyle{ k }[/math] קובע את התדר של כל גל.
• הקבועים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] קובעים את האמפליטודה של כל גל.
• מה לגבי הפאזה?
  • בפונקציה [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0) }[/math], הקבוע [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] קובע את הפאזה.
  • ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
    • [math]\displaystyle{ a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt) }[/math]

• האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt) }[/math] ניתן להציג כגל יחיד?
• תשובה: כן.
• הוכחה:
  • נסמן [math]\displaystyle{ z=a+bi=rcis(\theta) }[/math]
  • כלומר [math]\displaystyle{ a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta) }[/math]
• שימו לב:
  • סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
  • הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
  • לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
  • האפליטודה של הגל החדש היא [math]\displaystyle{ r=\sqrt{a^2+b^2} }[/math].

• האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
• בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
• האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
• למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
• במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

טורי פורייה ומקדמי פוריה

• טור פורייה הוא טור מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right] }[/math]

• אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים [math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math]?

חישובים להקדמה

• ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
  • [math]\displaystyle{ \sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right] }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right] }[/math]
• כעת, לכל [math]\displaystyle{ 0\neq n\in\mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1 }[/math]
• עבור [math]\displaystyle{ n\neq k \in \mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0 }[/math]
  • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש[math]\displaystyle{ n-k,n+k\neq 0 }[/math].
• באופן דומה, לכל [math]\displaystyle{ 0\neq n\in\mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1 }[/math]
• עבור [math]\displaystyle{ n\neq k \in \mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0 }[/math]
  • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש[math]\displaystyle{ n-k,n+k\neq 0 }[/math].
• עבור [math]\displaystyle{ n,k\in \mathbb{N} }[/math] נקבל:
  • [math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0 }[/math] כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
• ולבסוף, עבור [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] נקבל
  • [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2 }[/math]
• שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.

• הערה חשובה:
  • למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה [math]\displaystyle{ \{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\} }[/math] מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx }[/math]

מקדמי הטור

• כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
• [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx= }[/math]
• [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx= }[/math]
• כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
• [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right] }[/math]
• לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
• [math]\displaystyle{ a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx }[/math]
• שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור [math]\displaystyle{ k=0 }[/math].
• באופן דומה נקבל כי [math]\displaystyle{ b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx }[/math]

• הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
• השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
• באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math].
• לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
  • תהי פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math], נגדיר את ההמשך המחזורי שלה [math]\displaystyle{ g }[/math] על ידי:
  • לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb{Z} }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k) }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ g(x)=f(x-2\pi k) }[/math].
  • ברור ש [math]\displaystyle{ g(x+2\pi) = g(x) }[/math], כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
  • ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת [math]\displaystyle{ g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor) }[/math]

• לדוגמא, ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]:

דוגמא

• נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]
• שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.

[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0 }[/math].

• שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.

[math]\displaystyle{ a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx= \left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}= }[/math]

[math]\displaystyle{ - \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2} }[/math]

• שימו לב כי לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{N} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ cos(n\pi)=(-1)^n }[/math]

• סה"כ אם ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx) }[/math]

• נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
• [math]\displaystyle{ \pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2} }[/math]
• ונקבל את הסכום המפורסם

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} }[/math]

הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה

מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים

• פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם:
  • 1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות.
  • 2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים.
• למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות).
• פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין.

• E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין [math]\displaystyle{ f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C} }[/math] מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר.
  • לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה.
• [math]\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx }[/math] היא מכפלה פנימית מעל E.
  • [math]\displaystyle{ \langle g,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\overline{f(x)}dx = \overline{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx} = \overline{\langle f,g\rangle} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \langle af+bg,h\rangle = a\langle f,h\rangle + b\langle g,h\rangle }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{f(x)}dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2dx }[/math]
    • בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס.
    • כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין.
• נביט בנורמה המושרית [math]\displaystyle{ ||f||^2=\langle f,f\rangle }[/math]

• כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית.
• יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).
• ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית.

• תהי קבוצה אורתונורמלית סופית [math]\displaystyle{ \{e_1,...,e_n\} }[/math], ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
• לכל וקטור [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] נגדיר את ההיטל של [math]\displaystyle{ v }[/math] על W על ידי [math]\displaystyle{ \widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i }[/math]
• נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה:

• מתקיים כי [math]\displaystyle{ \langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle=\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 }[/math]
  • הוכחה:
  • [math]\displaystyle{ \langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle v,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle v,e_i\rangle}\langle v,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 }[/math]
  • המעבר האחרון נכון כיוון ש [math]\displaystyle{ \{e_1,...,e_n\} }[/math] אורתונורמלית.

• מתקיים כי [math]\displaystyle{ ||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2 }[/math]
  • הוכחה:
  • [math]\displaystyle{ \langle v-\widetilde{v},v-\widetilde{v}\rangle = \langle v,v\rangle - \langle v,\widetilde{v}\rangle - \langle \widetilde{v},v\rangle + \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle }[/math]
  • נזכור כי [math]\displaystyle{ \langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle }[/math].
  • לכן קיבלנו כי [math]\displaystyle{ ||v-\widetilde{v}||^2 = ||v||^2 - ||\widetilde{v}||^2 }[/math]

• מסקנה מיידית: [math]\displaystyle{ ||\widetilde{v}||\leq ||v|| }[/math]

אי שיוויון בסל

• כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית [math]\displaystyle{ \{e_1,e_2,...\} }[/math].
• לכל [math]\displaystyle{ v\in V }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2 }[/math]
  • הוכחה:
  • ראינו שלכל n מתקיים כי [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2 }[/math].
  • כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי [math]\displaystyle{ ||v||^2 }[/math] ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו.

• בפרט נובע כי

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}|\langle v,e_i\rangle|=0 }[/math]

למת רימן לבג

• ראינו כי [math]\displaystyle{ \{\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),...\} }[/math] היא קבוצה אורתונורמלית ב[math]\displaystyle{ E }[/math] (כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).
• כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:
• לכל [math]\displaystyle{ 1\leq n\in \mathbb{N} }[/math] הגדרנו [math]\displaystyle{ a_n=\langle f,\cos(nx)\rangle }[/math], ו[math]\displaystyle{ b_n=\langle f,\sin(nx)\rangle }[/math]

• נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.
• כלומר:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = 0 }[/math]

• למת רימן-לבג: תהי [math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה למקוטעין בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math], אזי:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = 0 }[/math]

• הוכחה:
  • [math]\displaystyle{ \int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{0}^\pi g(t)\cos(\frac{t}{2})\sin(nt) dt+\int_{0}^\pi g(t)\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) dt }[/math]
  • נגדיר את שתי הפונקציות [math]\displaystyle{ h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t \lt 0\end{cases} }[/math] ו [math]\displaystyle{ h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t \lt 0\end{cases} }[/math]
  • קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי [math]\displaystyle{ h_c,h_s\in E }[/math].
  • ביחד נקבל כי [math]\displaystyle{ \int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)sin(nt)dt \to 0 }[/math]

גרעין דיריכלה

• גרעין דיריכלה הוא הפונקציה [math]\displaystyle{ D_n(x)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})} }[/math]

• טענה: [math]\displaystyle{ D_n(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt) }[/math] בכל נקודה [math]\displaystyle{ t\neq 2\pi k }[/math]
  • הוכחה:
  • נכפל ב[math]\displaystyle{ 2\sin(\frac{t}{2}) }[/math] ונקבל בצד שמאל:
  • [math]\displaystyle{ \sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(t) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(2t)+...+2\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) }[/math]
  • נבחין בזהות הטריגונומטרית [math]\displaystyle{ 2\sin(a)\cos(b) = \sin(b+a)-\sin(b-a) }[/math]
  • ובפרט [math]\displaystyle{ 2\sin(\frac{t}{2})\cos(kt) = \sin(kt+\frac{t}{2}) - \sin(kt-\frac{t}{2}) }[/math]
  • ביחד נקבל [math]\displaystyle{ \sin(\frac{t}{2}) + \sin(t+\frac{t}{2})-\sin(t-\frac{t}{2}) + \sin(2t+\frac{t}{2}) - \sin(2t-\frac{t}{2})+...+\sin(nt+\frac{t}{2}) - \sin(nt-\frac{t}{2}) = \sin(nt+\frac{t}{2}) = \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) }[/math]

• נשים לב כי הפונקציה [math]\displaystyle{ 2\sin(\frac{t}{2}) }[/math] מתאפסת בנקודות [math]\displaystyle{ t=2\pi k }[/math], בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה.
• זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה.
• כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math].

• נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה:
• ראשית, לכל [math]\displaystyle{ 1\leq k \in \mathbb{N} }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \int_0^\pi \cos(kt)dt = \left[\frac{\sin(kt)}{k}\right]_0^\pi = 0 }[/math]

• לכן נקבל:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_0^\pi D_n(t)dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[\frac{1}{2} + \cos(t) + \cos(2t)+...+\cos(nt)\right]dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2} }[/math]

הסכומים החלקיים של טור פוריה

• תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] שהיא מחזורית [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]:

[math]\displaystyle{ S_n = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx) }[/math]

• נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:

[math]\displaystyle{ S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2}f(t)dt + \sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)dt\right]\cos(kx)+\left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt\right]\sin(kx)= }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}f(t)+\sum_{k=1}^n f(t)\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(k(t-x))\right]dt }[/math]

• זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:

[math]\displaystyle{ S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt }[/math]

• שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.

• טענה: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה מחזורית [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{R} }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ \int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx }[/math]

• כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math].
  • הוכחה:

[math]\displaystyle{ \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx }[/math]

נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=x-2\pi }[/math] באינטגרל השני ונקבל:

[math]\displaystyle{ \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx = \{t=x-2\pi, dt=dx\} = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t+2\pi)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx }[/math]

ביחד נקבל כי:

[math]\displaystyle{ \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx=\int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx = \int_{-\pi}^\pi f(x)dx }[/math]

• נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:

[math]\displaystyle{ S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du }[/math]

כיוון שגרעין דיריכלה ו[math]\displaystyle{ f }[/math] הן מחזוריות, נקבל:

[math]\displaystyle{ S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt }[/math]

הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה

סימונים והגדרות

• נסמן את הגבול החד צדדי מימין ב[math]\displaystyle{ f(d^+)=\lim_{x\to d^+}f(x) }[/math].
• נסמן את הגבול החד צדדי משמאל ב[math]\displaystyle{ f(d^-)=\lim_{x\to d^-}f(x) }[/math].
• שימו לב: אם הפונקציה רציפה למקוטעין, הערכים הללו תמיד מוגדרים.

• נגדיר את הנגזרת הימנית ע"י [math]\displaystyle{ f'(x^+) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t)-f(x^+)}{t} }[/math].
• נגדיר את הנגזרת השמאלית ע"י [math]\displaystyle{ f'(x^-) = \lim_{t\to 0^-}\frac{f(x+t)-f(x^-)}{t} }[/math].
• שימו לב: ייתכן ש[math]\displaystyle{ f'(d^+)=f'(d^-) }[/math] אך הפונקציה אינה גזירה בd. זה יקרה אם היא לא רציפה בנקודה.

דוגמא:

• נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{|x|} }[/math]
• מתקיים כי [math]\displaystyle{ f(0^+)=1 }[/math], ו[math]\displaystyle{ f(0^-)=-1 }[/math].
• כמו כן מתקיים כי [math]\displaystyle{ f'(0^+)=f'(0^-)=0 }[/math].

כמובן שהפונקציה אינה רציפה ואינה גזירה ב0.

משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה

• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה מחזורית [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math], רציפה למקוטעין כך שבכל נקודה הנגזרות החד צדדיות שלה קיימות וסופיות.
• אזי לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math] הטור עם מקדמי הפוריה של [math]\displaystyle{ f }[/math] מתכנס:

[math]\displaystyle{ \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx) }[/math]

• בפרט, בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור הפוריה מתכנס נקודתית לפונקציה, ובכל נקודה בה יש אי רציפות קפיצתית טור הפוריה מתכנס לממוצע הגבולות מימין ומשמאל.

הוכחה

• תהי נקודה [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{R} }[/math].
• נביט בפונקציה [math]\displaystyle{ g(t) = \frac{f(x+t) - f(x^+)}{2\sin(\frac{t}{2})} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \lim_{t\to 0^+}g(t) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t) - f(x^+)}{t}\frac{\frac{t}{2}}{\sin(\frac{t}{2})} = f'(x^+)\cdot 1 }[/math]
• כיוון שהנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, קיבלנו ש[math]\displaystyle{ g(t) }[/math] רציפה למקוטעין בקטע [math]\displaystyle{ [0,\pi] }[/math].
• לפי למת רימן-לבג נובע כי:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\int_0^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt=0 }[/math]

• כלומר:

[math]\displaystyle{ 0=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]D_n(t)dt }[/math]

• כיוון ש

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x^+)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2} }[/math]

• נובע כי:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2} }[/math]

• באופן דומה לחלוטין ניתן להוכיח כי:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)}{2} }[/math]

• ולכן סה"כ נקבל כי:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} S_n(x)= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2} }[/math]

דוגמאות

דוגמא 1

• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x }[/math].

• כיוון שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.
• כיוון שf הינה אי-זוגית, לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a_n=0 }[/math].

• כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:

[math]\displaystyle{ b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx = -\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} }[/math]

• לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה [math]\displaystyle{ x\neq \pi +2\pi k }[/math], מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) }[/math].

• בפרט, לכל נקודה [math]\displaystyle{ x\in (-\pi,\pi) }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ x=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) }[/math]

• עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.
• קל לראות שאכן לכל [math]\displaystyle{ x=\pi+2\pi k }[/math] נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).

• נציב לדוגמא [math]\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2} }[/math] ונקבל:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(\frac{n\pi}{2}) }[/math]

• לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} }[/math]

• שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של [math]\displaystyle{ arctan(x) }[/math].

דוגמא 2

• כעת, תהי [math]\displaystyle{ g }[/math] ההמשך המחזורי של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math].
• הפונקציה g הינה רציפה בכל הממשיים.
• הפונקציה g גזירה בכל הממשיים פרט לנקודות [math]\displaystyle{ x=\pi+2\pi k }[/math].
• בנקודות אי הגזירות, הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות ל[math]\displaystyle{ \pm 2\pi }[/math] (כיוון שהנגזרת של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] היא [math]\displaystyle{ 2x }[/math]).
• סה"כ לפי משפט דיריכלה, טור הפוריה של g מתכנס אליה בכל הממשיים (כיוון שהיא רציפה בכל הממשיים).

• כלומר קיבלנו שלכל [math]\displaystyle{ x\in [-\pi,\pi] }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ x^2=\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx) }[/math]

• שימו לב שאם נגזור איבר איבר את טור הפוריה של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math], נקבל את טור הפורייה של [math]\displaystyle{ 2x }[/math].
• האם זה מפתיע?

דוגמא 3

• תהי [math]\displaystyle{ h }[/math] ההמשך המחזורי של הפונקציה [math]\displaystyle{ \begin{cases}x & x\in [0,\pi]\\0 & x\in [-\pi,0)\end{cases} }[/math]

• שוב, קיבלנו פונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות וסופיות.

• נחשב את מקדמי הפורייה:

[math]\displaystyle{ a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi xdx = \frac{\pi}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\cos(nx)dx = \frac{1}{n\pi}\left[x\sin(nx)\right]_0^\pi - \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \sin(nx)dx = \frac{1}{n^2\pi}\left[\cos(nx)\right]_0^\pi= \frac{(-1)^n-1}{\pi n^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\sin(nx)dx = \frac{-1}{n\pi}\left[x\cos(nx)\right]_0^\pi + \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n} }[/math]

• סה"כ שלכל [math]\displaystyle{ x\in (-\pi,\pi) }[/math] מתקיים כי:

[math]\displaystyle{ h(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right] }[/math]

• שימו לב: מצאנו שני טורי פורייה שמתכנסים ל[math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ (0,\pi) }[/math].
• באופן דומה אפשר להראות שקיימים אינסוף טורי פורייה כאלה.

טור הנגזרת

• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ [-\pi,\pi] }[/math], כך שגם הנגזרת שלה [math]\displaystyle{ f' }[/math] רציפה בקטע.
• נסמן את מקדמי הפורייה של [math]\displaystyle{ f }[/math] ב[math]\displaystyle{ a_n,b_n }[/math]
• נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב[math]\displaystyle{ \alpha_n,\beta_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ \alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= f(\pi)-f(-\pi) }[/math]

• שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ בהנחה שהנגזרת רציפה. אם הנגזרתרציפה למקוטעין זה קצת יותר מורכב.

[math]\displaystyle{ \alpha_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos(nx)dx = \frac{-n}{\pi}\left[f(x)\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi +\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = n\cdot b_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin(nx)dx = \frac{n}{\pi}\left[f(x)\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi -\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = \frac{n(-1)^n(f(\pi)-f(-\pi))}{\pi} -n\cdot a_n }[/math]

• כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו:

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx) }[/math]

• אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו:

[math]\displaystyle{ f'(x)=\frac{f(\pi)-f(-\pi)}{2}+\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)+\left(\frac{n(-1)^n(f(\pi)-f(-\pi))}{\pi} -n\cdot a_n\right)\sin(nx) }[/math]

• (שימו לב שהטורים שווים לפונקציות בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (-\pi,\pi) }[/math], כיוון שההמשך המחזורי שלהן רציף שם ולא בהכרח בקצוות.)

• במקרה המיוחד בו [math]\displaystyle{ f(-\pi)=f(\pi) }[/math] אנו מקבלים את הביטוי הפשוט:

[math]\displaystyle{ f'(x)=\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)-na_n\sin(nx) }[/math]

דוגמאות

• נזכר בטור הפורייה של [math]\displaystyle{ x^2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx) }[/math]

• נרצה למצוא את מקדמי הפוריה של [math]\displaystyle{ x^3 }[/math].