חדוא 2 - ארז שיינר

88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2

תקציר ההרצאות

פרק 1 - האינטגרל הלא מסויים

• הגדרה: F נקראת פונקציה קדומה של f בקטע A אם לכל נקודה בקטע מתקיים כי [math]\displaystyle{ F'=f }[/math]

• האינטגרל הלא מסויים [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] מסמן פונקציה קדומה של f.

• תהי F קדומה של f, אזי קבוצת כל הקדומות של f שווה ל[math]\displaystyle{ \{F+c|c\in\mathbb{R}\} }[/math]

• אינטגרלים מיידיים ידועים לנו מנוסחאות הגזירה.

שיטות למציאת קדומה

• תהיינה f,g פונקציות בעלות קדומות, אזי:
  • [math]\displaystyle{ \int (cf) = c \int f }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \int (f+g) = \int f + \int g }[/math]

אינטגרציה בחלקים

[math]\displaystyle{ \int f'g = fg - \int fg' }[/math]

פונקציה רציונאלית

• הורדת דרגת המונה ע"י חילוק פולינומים

• פירוק לשברים חלקיים

• חישוב אינטגרל של כל שבר חלקי
  • נסמן [math]\displaystyle{ I_n=\int \frac{1}{(1+t^2)^n} dt }[/math]
  • אזי [math]\displaystyle{ I_{n+1}=\frac{t}{2n(1+t^2)^n} + \left(1-\frac{1}{2n}\right)I_n }[/math]

כאשר תנאי ההתחלה הוא [math]\displaystyle{ I_1=\arctan(t) }[/math]

הצבות אוניברסאליות

הצבות אוניברסאליות הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של פונקציה רציונאלית אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

• הסבר על הצבות אוניברסאליות

פרק 2 - האינטגרל המסויים

סכומי דרבו ואינטגרל עליון ותחתון

תכונות של סכומי דרבו והאינטגרל המסוים

• [math]\displaystyle{ m(b-a)\leq \underline{S}(f,P)\leq \overline{S}(f,P)\leq M(b-a) }[/math]

• תהי חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] ותהי העדנה שלה [math]\displaystyle{ R=P\cup \{a\} }[/math]
• [math]\displaystyle{ 0\leq \overline{S}(f,P)-\overline{S}(f,R)\leq \lambda(P)(M-m) }[/math]
• [math]\displaystyle{ 0\leq \underline{S}(f,R)-\underline{S}(f,P)\leq \lambda(P)(M-m) }[/math]

• [math]\displaystyle{ \underline{S}(f,P)\leq \underline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{\int_a^b}f(x)dx\leq \overline{S}(f,P) }[/math]

התכנסות סכומי דרבו

• התכנסות סכומי הדרבו העליונים לאינטגרל העליון

פונקציות אינטגרביליות

• פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו

• פונקציה חסומה בקטע סופי, ורציפה פרט למספר סופי של נקודות, אינטגרבילית בו

סכומי רימן

• אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו

אורך עקומה

• [math]\displaystyle{ L=\int_a^b \sqrt{(f'(x))^2+1}dx }[/math]

אי שיוויון המשולש לאינטגרלים

• [math]\displaystyle{ \left|\int_a^b f\right|\leq \int_a^b |f| }[/math]

פרק 3 - הקשר בין האינטגרל המסויים ללא מסויים

המשפט היסודי של החדו"א

• עבור פונקציה אינטגרבילית, בנקודות בהן היא רציפה מתקיים כי [math]\displaystyle{ S'(x)=\left(\int_a^x f(t)dt\right)' = f(x) }[/math]

נוסחאת ניוטון לייבניץ

• תהי f אינטגרבילים וF קדומה אזי [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a) }[/math]

נפח גוף סיבוב

• [math]\displaystyle{ \int_a^b \pi f^2(x)dx }[/math]

פרק 4 - אינטגרלים לא אמיתיים (מוכללים)

הגדרת אינטגרלים לא אמיתיים

• תהי f אינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,t] }[/math] לכל [math]\displaystyle{ t\geq a }[/math] אזי:
  • [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)dx = \lim_{t\to\infty} \int_a^t f(x)dx }[/math]
• תהי f שאינה חסומה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ואינטגרבילית בקטע [math]\displaystyle{ [t,b] }[/math] לכל [math]\displaystyle{ a\lt t\lt b }[/math] אזי:
  • [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = \lim_{t\to a^+} \int_t^b f(x)dx }[/math]

מבחני השוואה לאינטגרלים חיוביים

• מבחן ההשוואה הראשון:
  • תהיינה [math]\displaystyle{ f\geq g \geq 0 }[/math] עבורן מוגדר אינטגרל לא אמיתי באותו הקטע עם אותה הנקודה הבעייתית אזי-
  • אם [math]\displaystyle{ \int f }[/math] מתכנס בקטע, גם [math]\displaystyle{ \int g }[/math] מתכנס בקטע
• מבחן ההשוואה הגבולי:
  • תהיינה [math]\displaystyle{ f,g\geq 0 }[/math] עבורן מוגדר אינטגרל לא אמיתי באותו הקטע עם אותה הנקודה הבעייתית.
  • נחשב בנוסף את הגבול בנקודה הבעייתית [math]\displaystyle{ \lim \frac{f}{g} =c }[/math].
  • אזי:
    • אם [math]\displaystyle{ c=\infty }[/math], אזי אם [math]\displaystyle{ \int f }[/math] מתכנס גם [math]\displaystyle{ \int g }[/math] מתכנס.
    • אם [math]\displaystyle{ c=0 }[/math] אזי אם [math]\displaystyle{ \int g }[/math] מתכנס גם [math]\displaystyle{ \int f }[/math] מתכנס.
    • אם [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt \infty }[/math] אזי האינטגרלים חברים [math]\displaystyle{ \int f \sim \int g }[/math] כלומר שניהם מתכנסים או שניהם מתבדרים.

התכנסות בהחלט וקריטריון היינה

• קריטריון היינה:
  • אינטגרל לא אמיתי מקיים קריטריון היינה אם לכל שתי סדרות בקטע השואפת לנקודה הבעייתית מתקיים כי:
  • [math]\displaystyle{ \int_{a_n}^{b_n} f(x)dx \to 0 }[/math]

• אינטגרל לא אמיתי מתכנס אם"ם הוא מקיים את קריטריון היינה.

• פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] עליה מוגדר אינטגרל לא אמיתי נקראת מתכנסת בהחלט בקטע אם [math]\displaystyle{ \int |f| }[/math] מתכנס בקטע.

• פונקציה מתכנסת בהחלט בקטע מתכנסת.
  • [math]\displaystyle{ \left|\int_{a_n}^{b_n} f(x)dx\right| \leq \left|\int_{a_n}^{b_n} |f(x)|dx\right|\to 0 }[/math]

מבחן דיריכלה

• תהי פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] אשר מקיימת 3 תנאים בקטע [math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית יורדת
  • [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f(x)=0 }[/math]
  • הנגזרת [math]\displaystyle{ f' }[/math] רציפה.
• תהי בנוסף פונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] אשר מקיימת 2 תנאים באותו הקטע:
  • [math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה.
  • ל[math]\displaystyle{ g }[/math] יש קדומה [math]\displaystyle{ G }[/math] חסומה.
• אזי האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)dx }[/math] מתכנס.

פרק 5 - סדרות וטורי פונקציות

התכנסות במ"ש

• בדיקת התכנסות במ"ש:
  • נחשב את פונקצית הגבול. בשלב זה x קבוע וn שואף לאינסוף.
  • נחשב את סדרת החסמים [math]\displaystyle{ d_n=\sup_A |f(x)-f_n(x)| }[/math]. בשלב זה n קבוע, וx נע בקטע A.
  • יש התכנסות במ"ש אם"ם [math]\displaystyle{ d_n\to 0 }[/math].

• אם סדרה מתכנסת במ"ש בקטע, וכל הפונקציות בסדרה רציפות בנק' מסויימת, גם פונקצית הגבול רציפה באותה נקודה.

אינטגרציה וגזירה איבר איבר

• סדרת פונקציות אינטגרביליות המתכנסת במ"ש, מתכנסת לפונקציה אינטגרבילית.
• כמו כן, במקרה זה, סדרת שטחי הפונקציות מתכנסת לשטח פונקצית הגבול.
• עבור טור פונקציות אינטגרביליות המתכנס במ"ש מתקיים כי:
  • [math]\displaystyle{ \int_a^b \left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right) dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n(x)dx }[/math]

• סדרת פונקציות המתכנסת בנקודה, שנגזרותיה רציפות ומתכנסות במ"ש בA מקיימת בA:
  • [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f'_n\to f' }[/math]
• טור פונקציות המתכנס בנקודה, שנגזרותיו רציפות וטור הנגזרות מתכנס במ"ש בA מקיים בA:
  • [math]\displaystyle{ \left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)' = \sum_{n=1}^\infty f'_n(x) }[/math]

מבחן הM של ויירשטראס

• תהי סדרת פונקציות החסומה בערך מוחלט ע"י סדרת מספרים בקטע A:
  • [math]\displaystyle{ |f_n(x)|\leq M_n }[/math]
• אזי אם טור המספרים [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty M_n }[/math] מתכנס, טור הפונקציות [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n(x) }[/math] מתכנס במ"ש בקטע A.

פרק 6 - טורי טיילור וקירובים

פולינום טיילור

• הקדמה

• פולינום טיילור
  • [math]\displaystyle{ P_n(f,a)(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k }[/math]

• שארית טיילור בצורת לגראנז'
  • [math]\displaystyle{ R_n(f,a,x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} }[/math]