מתמטיקה בדידה - ארז שיינר
חומר עזר
- סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016
- מבחנים בבדידה
- מבחנים בקורס בדידה למורים - שימו לב, הקורס למורים מכיל משמעותית פחות חומר, והמבחנים קלים יותר. יחד עם זאת, יש שם כמות גדולה של תרגילים רלוונטיים ברמה נמוכה.
סרטוני ותקציר הרצאות
פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית
פסוקים, קשרים, כמתים, פרדיקטים
תרגול
אינדוקציה
- משפט האינדוקציה המתמטית
- תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
- הטענה הראשונה נכונה.
- לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
- אזי כל הטענות בסדרה נכונות
- אינדוקציה שלמה (מלאה)
- תהי סדרת טענות כך ש:
- לכל [math]\displaystyle{ n\in \mathbb{N} }[/math] אם כל הטענות עד ולא כולל הטענה הn מתקיימות, אזי גם הטענה הn מתקיימת.
- אזי כל הטענות בסדרה מתקיימות.
- שימו לב: לפני הטענה הראשונה אין טענות, ולכן כולן מתקיימות באופן ריק. כלומר מנוסח התנאי נובע שצריך להוכיח שהטענה הראשונה מתקיימת.
- פרדוקס הסוסים (או פתיתי השלג)
תרגול
פרק 2 - מבוא לתורת הקבוצות
קבוצות ופעולות על קבוצות
- איבר שייך לקבוצה [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] אם הוא אחד האיברים בקבוצה.
- קבוצה מוכלת בקבוצה אחרת [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math] אם [math]\displaystyle{ \forall a\in A : a\in B }[/math]
- [math]\displaystyle{ \{1,2\}=\{2,1\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \{1,1,2\}=\{1,2\} }[/math]
- תהי קבוצה [math]\displaystyle{ U }[/math] ותהיינה [math]\displaystyle{ A,B\subseteq U }[/math]. נגדיר את:
- קבוצת האיחוד [math]\displaystyle{ A\cup B =\{ x\in U:x\in A \or x\in B\} }[/math]
- קבוצת החיתוך [math]\displaystyle{ A\cap B =\{ x\in U:x\in A \and x\in B\} }[/math]
- קבוצת ההפרש [math]\displaystyle{ A\setminus B =\{ x\in U:x\in A \and x\not\in B\} }[/math]
- קבוצת ההפרש הסימטרי [math]\displaystyle{ A\Delta B = (A\setminus B)\cup (B\setminus A) }[/math]
- קבוצת המשלים [math]\displaystyle{ \overline{A}=\{x\in U:x\not\in A\} }[/math]
שיטות הוכחה בסיסיות
- הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'
- הוכחת הכלה בין קבוצות, ושיוויון בין קבוצות
איחוד וחיתוך כלליים
- תהי S קבוצה של קבוצות, נגדיר:
- [math]\displaystyle{ \cup_{A\in S}A = \{x|\exists A\in S :x\in A\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \cap_{A\in S}A = \{x|\forall A\in S :x\in A\} }[/math]
קבוצת החזקה
- [math]\displaystyle{ X\in P(A) \iff X\subseteq A }[/math]
תרגול
פרק 3 - יחסים
מכפלה קרטזית ויחסים
תכונות של יחסים
- יהי R יחס על A (כלומר [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times A }[/math]) אזי:
- R נקרא רפלקסיבי אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ aRa }[/math].
- R נקרא סימטרי אם לכל [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ aRb }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ bRa }[/math]
- R נקרא אנטי-סימטרי אם לכל [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ aRb\and bRa }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a=b }[/math]
- R נקרא טרנזיטיבי אם לכל [math]\displaystyle{ a,b,c\in A }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ aRb \and bRc }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ aRc }[/math]
- R נקרא מלא אם לכל [math]\displaystyle{ a,b\in A }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ aRb\or bRa }[/math]
- יהי R יחס מA לB (כלומר [math]\displaystyle{ R\subseteq A\times B }[/math]) אזי:
- R נקרא חד-ערכי (ח"ע) אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ b_1,b_2\in B }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ aRb_1 \and aRb_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ b_1=b_2 }[/math]
- R נקרא שלם אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] קיים [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ aRb }[/math]
- R נקרא חד-חד-ערכי (חח"ע) אם לכל [math]\displaystyle{ a_1,a_2\in A }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ a_1Rb\and a_2Rb }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_1=a_2 }[/math]
- R נקרא על אם לכל [math]\displaystyle{ b\in B }[/math] קיים [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ aRb }[/math]
יחסי שקילות
- יחס R על קבוצה A נקרא יחס שקילות אם הוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי.
- יהי R יחס שקילות על A.
- לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מוגדרת קבוצת מחלקת השקילות של a ע"י:
- [math]\displaystyle{ [a]_R=\{x\in A|aRx\} }[/math]
- קבוצת כל קבוצות מחלקות השקילות נקראת קבוצת המנה:
- [math]\displaystyle{ A/R=\{[a]_R:a\in A\} }[/math]
תרגול
יחסי סדר
- יחס R על קבוצה A נקרא יחס סדר חלקי אם הוא רפלקסיבי, אנטי-סימטרי וטרנזיטיבי
איברים מינימליים ומקסימליים, וחסמים
- יהי R יחס סדר חלקי על קבוצה X, ותהי [math]\displaystyle{ A\subseteq X }[/math] תת קבוצה.
- איבר [math]\displaystyle{ M\in A }[/math] נקרא מקסימלי בA אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ MRa }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a=M }[/math] (אין גדולים ממנו)
- איבר [math]\displaystyle{ m\in A }[/math] נקרא מינימלי בA אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ aRm }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ a=m }[/math] (אין קטנים ממנו)
- איבר [math]\displaystyle{ M\in A }[/math] נקרא הגדול ביותר (מקסימום) בA אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ aRM }[/math] (הוא גדול מכולם)
- איבר [math]\displaystyle{ m\in A }[/math] נקרא הקטן ביותר (מקסימום) בA אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ mRa }[/math] (הוא קטן מכולם)
- איבר [math]\displaystyle{ M\in X }[/math] נקרא חסם מלעיל של A אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ aRM }[/math] (הוא גדול מכל איברי הקבוצה, אבל לאו דווקא נמצא בקבוצה)
- איבר [math]\displaystyle{ m\in X }[/math] נקרא חסם מלרע של A אם לכל [math]\displaystyle{ a\in A }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ mRa }[/math] (הוא קטן מכל איברי הקבוצה, אבל לאו דווקא נמצא בקבוצה)
- אם בקבוצת חסמי המלעיל של A יש איבר קטן ביותר הוא נקרא חסם עליון (supremum) של A.
- אם בקבוצת חסמי המלרע של A יש איבר גדול ביותר הוא נקרא חסם תחתון (infimum) של A.
- איבר גדול ביותר ביותר הוא יחיד.
- אם חסם מלעיל שייך לקבוצה, אז הוא הגדול ביותר.
- האיבר הגדול ביותר בקבוצה הוא איבר מקסימלי, ואין איברים מקסימליים אחרים.
תרגול
פרק 4 - פונקציות
הגדרת פונקציות
- יחס f מA לB נקרא פונקציה אם הוא ח"ע ושלם, ומסמנים במקרה זה [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math], וכן [math]\displaystyle{ f(a)=b\iff (a,b)\in f }[/math].
- A נקרא תחום הפונקציה (או תחום הגדרה), B נקרא הטווח של הפונקציה.
- שימו לב, הסרטון ישן, ושם פונקציה הוגדרה כיחס ח"ע בלבד, בניגוד להגדרה העדכנית שלנו בקורס.
חח"ע ועל, תמונה ותמונה הפוכה
- תהי [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] פונקציה. אזי:
- f חח"ע אם לכל [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in A }[/math] המקיימים [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ x_1=x_2 }[/math]
- f על אם לכל [math]\displaystyle{ y\in B }[/math] קיים [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ X\subseteq A }[/math] נגדיר את קבוצת התמונה [math]\displaystyle{ f[X]=\{f(a)|a\in X\} }[/math]
- תהי [math]\displaystyle{ Y\subseteq B }[/math] נגדיר את קבוצת התמונה ההפוכה [math]\displaystyle{ f^{-1}[Y]=\{a\in A|f(a)\in Y\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ f[]:P(A)\to P(B) }[/math] היא פונקצית התמונה, השולחת כל תת קבוצה לקבוצת התמונה שלה
- [math]\displaystyle{ f^{-1}[]:P(B)\to P(A) }[/math] היא פונקצית התמונה ההפוכה, השולחת כל תת קבוצה לקבוצת התמונה ההפוכה שלה
- שימו לב
- [math]\displaystyle{ x\in f^{-1}[Y]\iff f(x)\in Y }[/math]
- [math]\displaystyle{ y\in f[X] \iff \exist a\in X :f(a)=y }[/math]
הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות
- תהיינה [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] וכן [math]\displaystyle{ g:B\to C }[/math] אזי נגדיר את פונקצית ההרכבה [math]\displaystyle{ g\circ f:A\to C }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ g\circ f(a)=g(f(a)) }[/math]
- פעולת ההרכבה היא אסוציאטיבית.
- תהי קבוצה A נגדיר את פונקצית הזהות [math]\displaystyle{ I_A:A\to A }[/math] ע"י [math]\displaystyle{ I_A(x)=x }[/math].
- לכל פונקציה [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ I_B\circ f = f\circ I_A = f }[/math]
- פונקציה [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] נקראת הפיכה אם קיימות פונקציות [math]\displaystyle{ g,h:B\to A }[/math] כך ש:
- [math]\displaystyle{ g\circ f = I_A }[/math] וכן [math]\displaystyle{ f\circ h = I_B }[/math]
- נשים לב כי
- [math]\displaystyle{ h=I_A\circ h = (g\circ f)\circ h = g\circ (f\circ h)=g\circ I_B = g }[/math]
- לכן אם פונקציה הפיכה, יש פונקציה יחידה שהופכת אותה (ההופכית), נסמנה [math]\displaystyle{ f^{-1}:B\to A }[/math].
- שימו לב: עם סוגריים מרובעים זו פונקצית התמונה ההפוכה שיש לכל פונקציה ופועלת על תתי קבוצות, עם סוגריים עגולים זו הפונקציה ההופכית שיש רק להפיכות ופועלת על איברים.
פונקציה מוגדרת היטב
תרגול
פרק 5 - עוצמות
מבוא
השוואת עוצמות
- A שקולת עוצמה לB או עוצמתה של A שווה לB, אם קיימת פונקציה הפיכה (חח"ע ועל) [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math].
- במקרה זה מסמנים [math]\displaystyle{ A\sim B }[/math] או [math]\displaystyle{ |A|=|B| }[/math].
- כל קבוצה שקולת עוצמה לעצמה
- אם A שקולת עוצמה לB, גם B שקולת עוצמה לA
- אם A שקולת עוצמה לB וB שקולת עוצמה לC אזי A שקולת עוצמה לC
- עוצמתה של A קטנה או שווה לזו של B, אם קיימת פונקציה חח"ע [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math].
- במקרה זה מסמנים [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math]
- כל קבוצה A השקולת עוצמה לקבוצת הטבעיים מסומנת [math]\displaystyle{ |A|=\aleph_0 }[/math]
- כל קבוצה A השקולת עוצמה לקבוצת הממשיים מסומנת [math]\displaystyle{ |A|=\aleph }[/math]
משפט קנטור
- [math]\displaystyle{ |A|\lt |P(A)| }[/math]
קבוצות בנות מנייה
- קבוצה A נקראת בת מנייה אם [math]\displaystyle{ |A|\leq \aleph_0 }[/math]
- כל קבוצה A בת מנייה אינסופית מקיימת [math]\displaystyle{ |A|=\aleph_0 }[/math]
חשבון עוצמות (אריתמטיקה של עוצמות)
חיבור עוצמות
- תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות זרות לעוצמות A,B.
- נגדיר [math]\displaystyle{ a+b=|A\cup B| }[/math], הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות.
כפל עוצמות
- תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות לעוצמות A,B.
- נגדיר [math]\displaystyle{ a\cdot b=|A\times B| }[/math], הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות.
חזקת עוצמות
- תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות לעוצמות A,B.
- נגדיר את [math]\displaystyle{ A^B }[/math] להיות אוסף כל הפונקציות מB לA (מהמעריך לבסיס).
- נגדיר [math]\displaystyle{ a^b=|A^B| }[/math], הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות.
- חוקי חזקות
- תהיינה עוצמות a,b,c אזי
- [math]\displaystyle{ a^b\cdot a^c = a^{b+c} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (a^b)^c = a^{b\cdot c} }[/math]
- [math]\displaystyle{ a^b\cdot c^b = (a\cdot c)^b }[/math]
עוצמת קבוצת החזקה
- [math]\displaystyle{ |P(A)|=2^{|A|} }[/math]
השוואת חשבון עוצמות
- תהיינה עוצמות a,b,c,d כך ש [math]\displaystyle{ a\leq c }[/math] וכן [math]\displaystyle{ b\leq d }[/math] אזי:
- [math]\displaystyle{ a+b\leq c+d }[/math]
- [math]\displaystyle{ a\cdot b\leq c\cdot d }[/math]
- אם בנוסף נתון כי [math]\displaystyle{ c\neq 0 }[/math] אזי
- [math]\displaystyle{ a^b\leq c^d }[/math]
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין
- אם [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math] וגם [math]\displaystyle{ |B|\leq |A| }[/math] אזי [math]\displaystyle{ A\sim B }[/math]
למת נקודת השבת
- תהי פונקציה עולה [math]\displaystyle{ h:P(A)\to P(A) }[/math] כלומר המקיימת לכל [math]\displaystyle{ X_1\subseteq X_2 }[/math] כי [math]\displaystyle{ h(X_1)\subseteq h(X_2) }[/math]
- אזי קיימת נק' שבת [math]\displaystyle{ K\subseteq A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ h(K)=K }[/math].
הוכחת המשפט
עוצמות קטעים ממשיים
- [math]\displaystyle{ |\mathbb{R}|=|[a,\infty)|=|[a,b]|=|(a,b)|=\aleph }[/math]
איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה
- תהי S קבוצה בת מנייה של קבוצות בנות מנייה, כלומר:
- [math]\displaystyle{ |S|\leq\aleph_0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \forall X\in S:|X|\leq\aleph_0 }[/math]
- אזי גם האיחוד הכללי הוא בן מנייה:
- [math]\displaystyle{ |\cup_{X\in S}X|\leq \aleph_0 }[/math]
- מסקנה: אוסף תתי הקבוצות הסופיות של המספרים הטבעיים הוא בן מנייה.
אקסיומת הבחירה ועקרון המקסימום של האוסדורף
אקסיומת הבחירה
- תהי S קבוצת קבוצת לא ריקות, ונסמן את האיחוד הכללי ב [math]\displaystyle{ U=\cup_{X\in S}X }[/math].
- אזי קיימת פונקצית בחירה [math]\displaystyle{ f:S\to U }[/math] הבוחרת איבר מתוך כל קבוצה, כלומר:
- [math]\displaystyle{ \forall X\in S: f(X)\in X }[/math]
- דוגמא:
- תהי פונקציה על [math]\displaystyle{ f:A\to B }[/math] אזי קיימת תת קבוצה [math]\displaystyle{ X\subseteq A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f:X\to B }[/math] חח"ע ועל.
- תהיינה [math]\displaystyle{ A,B\neq\emptyset }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |A|\leq |B| }[/math] אם ורק אם קיימת [math]\displaystyle{ g:B\to A }[/math] על.
עקרון המקסימום של האוסדורף
- תהי קבוצה A עם יחס סדר חלקי, תת קבוצה [math]\displaystyle{ S\subseteq A }[/math] נקראת שרשרת אם היחס מלא עליה (ניתן להשוות בין כל שני איברים בS).
- שרשרת נקראת מקסימלית בA אם היא אינה מוכלת באף שרשרת אחרת.
- עקרון המקסימום של האוסדורף אומר שכל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית.
- דוגמא - אוסף עיגולים במישור שאינם חותכים זה את זה, ולא ניתן להוסיף אפילו עיגול אחד נוסף.
אלף אפס היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר
(בהנחת עקרון המקסימום של האוסדורף)
- תהי A קבוצה אינסופית, אזי [math]\displaystyle{ \aleph_0\leq A }[/math]
- תהי A קבוצה אינסופית, ותהי B קבוצה סופית, אזי:
- [math]\displaystyle{ |A|=|A\cup B|=|A\setminus B| }[/math]
השוואת עוצמות
(בהנחת עיקרון המקסימום של האוסדורף)
- תהיינה שתי קבוצות A,B אזי [math]\displaystyle{ |A|\leq|B| }[/math] או [math]\displaystyle{ |A|\geq |B| }[/math]
סכום ומכפלה של עוצמות אינסופיות שווה לגדולה מבין העוצמות
- תהיינה עוצמות [math]\displaystyle{ a\leq b }[/math] אזי:
- [math]\displaystyle{ b\leq a+b }[/math]
- נניח בנוסף כי [math]\displaystyle{ 2\leq a\leq b }[/math] אזי:
- [math]\displaystyle{ a+b\leq a\cdot b }[/math]
- נניח בנוסף כי b אינסופית, ונקבל ביחד
- [math]\displaystyle{ b\leq a+b \leq a\cdot b\leq b\cdot b =b }[/math] (המעבר [math]\displaystyle{ b\cdot b=b }[/math] מוכח בסרטון השני).
- ולכן לפי משפט ק.ש.ב נקבל כי
- [math]\displaystyle{ a+b=a\cdot b = b }[/math]
- תהי עוצמה אינסופית b אזי [math]\displaystyle{ b\cdot b=b }[/math]
הקשר בין עוצמת הטבעיים לעוצמת הממשיים
- [math]\displaystyle{ 2^{\aleph_0}=\aleph }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ P(\mathbb{N})\sim\mathbb{R} }[/math]