הגרסה להדפסה אינה נתמכת עוד וייתכן שיש בה שגיאות תיצוג. נא לעדכן את הסימניות בדפדפן שלך ולהשתמש בפעולת ההדפסה הרגילה של הדפדפן במקום זה.

הקדמה

אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה [math]\displaystyle{ x^2=2 }[/math] (שורש שתיים).

הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math] לראשית הצירים [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math]?

האם ייתכן שהפרבולה [math]\displaystyle{ y=x^2-2 }[/math] עולה מהנקודה [math]\displaystyle{ (0,-2) }[/math] אל הנקודה [math]\displaystyle{ (2,2) }[/math] בלי לחתוך את ציר האיקס?

כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה [math]\displaystyle{ y=x^2-2 }[/math] עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה [math]\displaystyle{ \left\{x\in\mathbb{Q}| x\lt 0 \vee x^2 \lt 2\right\} }[/math], זו הקרן באיור.

הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה [math]\displaystyle{ A\subseteq\mathbb{Q} }[/math] המקיימת:
- [math]\displaystyle{ A\neq\emptyset }[/math]
- [math]\displaystyle{ A }[/math] חסומה מלעיל.
- לכל [math]\displaystyle{ m\in\mathbb{Q} }[/math] מתקיים כי [math]\displaystyle{ m\notin A }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ m }[/math] חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A }[/math]

הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.

יהיו שתי חתכים [math]\displaystyle{ A,B }[/math], נגדיר את החיבור:
- [math]\displaystyle{ A+B=\left\{a+b|a\in A,b\in B\right\} }[/math]

החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי [math]\displaystyle{ a+b\in A+B }[/math], כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים [math]\displaystyle{ a\lt c\in A }[/math] וכן [math]\displaystyle{ b\lt d\in B }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a+b\lt c+d\in A+B }[/math] ו[math]\displaystyle{ a+b }[/math] אינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math]
- יהי [math]\displaystyle{ m\in\mathbb{Q} }[/math] שאינו חסם מלעיל של [math]\displaystyle{ A+B }[/math], לכן קיימים [math]\displaystyle{ m\lt a+b\in A+B }[/math]. כעת [math]\displaystyle{ m-a\lt b }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ m-a }[/math] אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ [math]\displaystyle{ m=a+(m-a)\in A+B }[/math].