פונקצית האקספוננט

בערך זה נגדיר את פונקצית האקספוננט ונוכיח תכונות חשובות שלה.

אמנם יש דרכים אחרות להגדיר את e וחזקות של מספרים, אנחנו נציג גרסא מבוססת על כלים מתקדמים (טורי חזקות) המתאימה גם לשדה המספרים המרוכבים.

הקדמה

לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{C} }[/math] נגדיר את פונקצית האקספוננט

[math]\displaystyle{ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} }[/math]

(קל לוודא כי טור החזקות הנ"ל מתכנס בכל שדה המרוכבים.)

נגדיר את המספר e להיות

[math]\displaystyle{ e^1 =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} }[/math]

הקוראים עשויים להזדעק ולומר שהסימון [math]\displaystyle{ e^x }[/math] שמור לחזקה של שני מספרים; ובכן, אנחנו נגדיר חזקה של שני מספרים באמצעות האקספוננט ונוכיח את התכונות המוכרות של פעולת החזקה.

כלומר נגדיר לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] כי

[math]\displaystyle{ a^b = e^{b\ln (a)} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \ln }[/math] היא הפונקציה ההופכית לאקספוננט בממשיים. (כמובן שעלינו להוכיח כי פונקצית האקספוננט [math]\displaystyle{ e^x:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] הפיכה.)

כפל אקספוננטים

אחת התכונות הבסיסיות והחשובות ביותר של האקספוננט היא

[math]\displaystyle{ e^x\cdot e^y = e^{x+y} }[/math]

כיוון שעדיין לא הגדרנו חזקות, בוודאי לא ניתן להשתמש בחוקי חזקות על מנת להוכיח תכונה זו.

עלינו להוכיח אותה ישירות על ידי ההגדרה של האקספוננט כטור חזקות.