פונקצית האקספוננט

בערך זה נגדיר את פונקצית האקספוננט ונוכיח תכונות חשובות שלה.

אמנם יש דרכים אחרות להגדיר את e וחזקות של מספרים, אנחנו נציג גרסא מבוססת על כלים מתקדמים (טורי חזקות) המתאימה גם לשדה המספרים המרוכבים.

הגדרת פונקצית האקספוננט

לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb{C} }[/math] נגדיר את פונקצית האקספוננט

[math]\displaystyle{ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} }[/math]

(קל לוודא כי טור החזקות הנ"ל מתכנס בכל שדה המרוכבים.)

נגדיר את המספר e להיות

[math]\displaystyle{ e^1 =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} }[/math]

הקוראים עשויים להזדעק ולומר שהסימון [math]\displaystyle{ e^x }[/math] שמור לחזקה של שני מספרים; ובכן, אנחנו נגדיר חזקה של שני מספרים באמצעות האקספוננט ונוכיח את התכונות המוכרות של פעולת החזקה.

כלומר נגדיר לכל [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] כי

[math]\displaystyle{ a^b = e^{b\ln (a)} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ \ln }[/math] היא הפונקציה ההופכית לאקספוננט בממשיים. (כמובן שעלינו להוכיח כי פונקצית האקספוננט [math]\displaystyle{ e^x:\mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math] הפיכה.)

כפל אקספוננטים

אחת התכונות הבסיסיות והחשובות ביותר של האקספוננט היא

[math]\displaystyle{ e^x\cdot e^y = e^{x+y} }[/math]

כיוון שעדיין לא הגדרנו חזקות, בוודאי לא ניתן להשתמש בחוקי חזקות על מנת להוכיח תכונה זו.

עלינו להוכיח אותה ישירות על ידי ההגדרה של האקספוננט כטור חזקות.

הוכחה

ראשית נשים לב כי בנוסחא שאנחנו מוכיחים יש מכפלה של טורים

[math]\displaystyle{ e^x\cdot e^y =\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right)\cdot \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}\right) }[/math]

כיצד ניתן להכפיל שני טורים?

באופן אינטואיטיבי, בהתאם לחוק הפילוג, אנחנו מצפים שהמכפלה תהיה סכום כל הדרכים לכפול איבר מהטור השמאלי, באיבר מהטור הימני.

אך באיזה סדר נסכום את מכפלות הזוגות?

אנחנו היינו רוצים לומר למשל כי

[math]\displaystyle{ (a_0+a_1+a_2+...)(b_0+b_1+b_2+...)=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)+... }[/math]

סידרנו כאן את הזוגות לפי סכום האינדקסים שלהם; קודם כל המכפלה בה סכום האינדקסים הוא אפס, לאחר מכן שתי המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא שתיים, ואז שלוש המכפלות בהן סכום האינדקסים הוא שלוש וכן הלאה.

בכתיב מדוייק אנחנו רוצים לטעון כי

[math]\displaystyle{ \left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) }[/math]

מסתבר שאם שני הטורים [math]\displaystyle{ \sum a_n, \sum b_n }[/math] מתכנסים בהחלט זה באמת נכון. (אולי אוסיף הוכחה בהמשך?)