פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,

(המבחן )

חלק א'

1) התשובה היא ב'.

שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל-0. [math]\displaystyle{ a_n }[/math] היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י [math]\displaystyle{ b_1 }[/math] (באינדוקציה - [math]\displaystyle{ b_1 }[/math] גדולה יותר מכל שאר אברי [math]\displaystyle{ b }[/math] שגדולים יותר מכל אברי [math]\displaystyle{ a }[/math]) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, [math]\displaystyle{ b_n }[/math] היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':

דוגמא: [math]\displaystyle{ a_n=2\left(1+\dfrac1n\right),b_n=-2\left(1+\dfrac1n\right) }[/math]

2) התשובה היא ב'.

הפרכה לג', ד': [math]\displaystyle{ a_n=\dfrac1n }[/math] . ברור [math]\displaystyle{ a_n\to0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{a_n}}=1 }[/math] . אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן [math]\displaystyle{ \dfrac1{|a_n|}\to\infty }[/math] .

(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם [math]\displaystyle{ |a_n|\lt \varepsilon }[/math] אז [math]\displaystyle{ \dfrac1{|a_n|}\gt \dfrac1{\varepsilon} }[/math] .)

פורמלית: יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] . מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\to\infty }[/math] ולכן לכל [math]\displaystyle{ \dfrac1{\varepsilon} }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall n\lt N:|a_n|\lt \dfrac1{\varepsilon} }[/math] , כלומר כך ש- [math]\displaystyle{ \dfrac1{|a_n|}\gt \varepsilon }[/math] . [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

3) ד'. [math]\displaystyle{ \infty }[/math] או 0 נקודות. שתי דוגמאות: [math]\displaystyle{ a_n=n,a_n=1+\dfrac1n }[/math] . באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה [math]\displaystyle{ x=c }[/math] בחיתוך ונתבונן במקום [math]\displaystyle{ n=c+1 }[/math] , כלומר בקטע [math]\displaystyle{ [c+1,\infty) }[/math] שלא מכיל את [math]\displaystyle{ c }[/math] כלל, בסתירה.

4) התשובה היא ד'.

הפרכה לא', ב', ג': נגדיר [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x+2&x\ne9\\x+3&x=9\end{cases},g(x)=\begin{cases}x+3&x\ne9\\x+2&x=9\end{cases} }[/math]

אז ברור שההרכבה רציפה, שכן [math]\displaystyle{ f\bigl(g(x)\bigr)=\begin{cases}x+5&x\ne9\\x+5&x=9\end{cases}=x+5 }[/math] והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות.

[math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.

5)

• עבור [math]\displaystyle{ r=1 }[/math] מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'.
• עבור [math]\displaystyle{ r=0 }[/math] הטור מתכנס (ל-0) מה שפוסל את ב'. עבור [math]\displaystyle{ r=-1 }[/math] מקבלים [math]\displaystyle{ \frac1{n^{\frac12}} }[/math], שמתבדר לפי העיבוי כי [math]\displaystyle{ \frac12\lt 1 }[/math] . פוסל את א'.

לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור [math]\displaystyle{ -1\lt r\lt 1 }[/math] , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)

6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{2}&x\le4\\4x&x\gt 4\end{cases} }[/math]

עולה ממש ואינה רציפה בקטע [math]\displaystyle{ (-152.3,17) }[/math] .

הוכחת ב': בשלילה, [math]\displaystyle{ \exists x_1,x_2\in\R:x_1\ne x_2\and f(x_1)=f(x_2) }[/math] .

בסתירה לכך ש- [math]\displaystyle{ f }[/math] עולה ממש, שהרי בה"כ [math]\displaystyle{ x_1\lt x_2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x_1)\lt f(x_2) }[/math] בסתירה להיותם שווים.

6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.

הוכחה

[math]\displaystyle{ f }[/math] עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונקציה ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת [math]\displaystyle{ y_0 }[/math] . כעת, לפי ההנחה [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0) }[/math] .

מכאן נקבל [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac1{f'(x_0)} }[/math] , בהנחה שהנגזרת שונה מ-0 . לכן [math]\displaystyle{ \lim\limits_{y\to y_0}\dfrac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac1{f'(x_0)} }[/math] ובפרט קיים. לכן הפונקציה ההפוכה גזירה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של [math]\displaystyle{ f }[/math] , ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).

חלק ב'

7)

[math]\displaystyle{ \begin{align}f(x)&=\dfrac{1+x\cos(x)}{x+2}\\f'(x)&=\frac{\bigl(1+x\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2}=\frac{\bigl(\cos(x)-x\sin(x)\bigr)(x+2)-\bigl(1+x\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}\\&=\frac{x\cos(x)-x^2\sin(x)+2\cos(x)-2x\sin(x)-1-x\cos(x)}{(x+2)^2}=\frac{2\cos(x)-x\sin(x)(x+2)-1}{(x+2)^2}\\f'(0)&=\frac{2\cos(0)-0\sin(0)(0+2)-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14\end{align} }[/math]

זהו שיפוע המשיק.

כעת, נציב במשוואת ישר עם הנקודה [math]\displaystyle{ \left(0,\tfrac12\right) }[/math] ונקבל: [math]\displaystyle{ y=\dfrac14x+\dfrac12 }[/math]

8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד [math]\displaystyle{ 3n }[/math] . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:

[math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1n\le\frac1{2n}+\frac1{2n}-\frac1n=\frac2{2n}-\frac1n=0 }[/math] ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.

9) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math] אלא שואפת לאינסוף. (המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)

בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של [math]\displaystyle{ 8\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^n }[/math] .

[math]\displaystyle{ 8\left(\frac{n}{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac2{n+2}\right)^n=8\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot2-2}=8\left(\left(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\right)^{\frac{(n+2)}{2}}\right)^2\cdot\left(1-\frac1{\tfrac{n+2}{2}}\right)^{-2} }[/math]

קיבלנו גורם 8, גורם [math]\displaystyle{ (e^{-1})^2 }[/math] , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא [math]\displaystyle{ \dfrac8{e^2}\gt 1 }[/math] , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.

חלק ג'

10)

הפרכה

ניקח [math]\displaystyle{ a_n=\dfrac{(-1)^n}{n},b_n=\dfrac{(-1)^n}{\ln(n)} }[/math] .

לפי לייבניץ הטור [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס, וברור כי [math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math] שכן [math]\displaystyle{ \ln(n)\to\infty }[/math] , אבל המכפלה [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cdot b_n=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\cdot\ln(n)} }[/math] מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)

(נגדיר [math]\displaystyle{ b_1=0 }[/math] בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)

11) נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ h }[/math] על-ידי [math]\displaystyle{ \forall x\in[-1,1]:h(x)=f(x)-x^2 }[/math] . כעת, נתבונן ב- [math]\displaystyle{ h(1),h(2),h(3) }[/math] :

[math]\displaystyle{ h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1\lt 0 }[/math] ואילו [math]\displaystyle{ h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0\gt 0 }[/math] , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- [math]\displaystyle{ h }[/math] יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math] .

באותו האופן, [math]\displaystyle{ h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1\lt 0 }[/math] ולכן יש ל- [math]\displaystyle{ h }[/math] שורש בקטע [math]\displaystyle{ (-1,0) }[/math] . כל שורש של [math]\displaystyle{ h }[/math] הוא נקודה בה הפונקציות שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.

12 זלצמן)

הוכחה

כיון ש- [math]\displaystyle{ \sin(2\cdot0)=0 }[/math] אז ניתן להגדיר את [math]\displaystyle{ f }[/math] "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת [math]\displaystyle{ f }[/math]).

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}\sin(2x)&x\ge0\\x&x\lt 0\end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin(2x) }[/math] רציפה ובעלת מחזור [math]\displaystyle{ p=\pi }[/math] ולכן רציפה במ"ש ב- [math]\displaystyle{ \R }[/math] ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- [math]\displaystyle{ \R }[/math] , ובפרט בקרן החיובית הסגורה [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math] .

ידוע ש- [math]\displaystyle{ x }[/math] רציפה במ"ש ב- [math]\displaystyle{ \R }[/math] ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- [math]\displaystyle{ \R }[/math] , ובפרט בקרן השלילית הסגורה [math]\displaystyle{ (-\infty,0] }[/math] .

לכן [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה במ"ש ב- [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math] וכמו כן ב- [math]\displaystyle{ (-\infty,0] }[/math] . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.

12 קליין) נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ h }[/math] על-ידי [math]\displaystyle{ \forall x\in I:h(x)=f(x)-x }[/math] .

[math]\displaystyle{ h }[/math] מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר [math]\displaystyle{ \exists c\in I:h'(c)=0 }[/math] . לכן [math]\displaystyle{ h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0 }[/math] , ומכאן [math]\displaystyle{ f'(x)=1 }[/math] . [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

12 הורוביץ) פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומיד נקבל סתירה שכן הפונקציה צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונקציה תהיה אי-חיובית, בסתירה. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]