הקדמה

אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה $x^{2} = 2$ (שורש שתיים).

הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה $(1, 1)$ לראשית הצירים $(0, 0)$ ?

האם ייתכן שהפרבולה $y = x^{2} - 2$ עולה מהנקודה $(0, - 2)$ אל הנקודה $(2, 2)$ בלי לחתוך את ציר האיקס?

כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.

כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה $y = x^{2} - 2$ עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?

(נבנה באמצעות גאוגברה.)

ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.

כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה ${x \in Q | x < 0 \lor x^{2} < 2}$ , זו הקרן באיור.

הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.

חתכי דדקינד

הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה $A \subseteq Q$ המקיימת:
- $A \neq \emptyset$
- $A$ חסומה מלעיל.
- לכל $m \in Q$ מתקיים כי $m \notin A$ אם ורק אם $m$ חסם מלעיל של $A$

הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה. זה משול לחצי האבוקדו ללא הגרעין.
- בחתך המייצג מספר שאינו רציונאלי, כמו שורש שתיים, גם במשלים של החתך אין מספר קטן ביותר, זה משול לשני חצאי אבוקדו ללא גרעין כלל.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.

הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.

חיבור חתכי דדקינד

יהיו שתי חתכים $A, B$ , נגדיר את החיבור:
- $A + B = {a + b | a \in A, b \in B}$

החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי $a + b \in A + B$ , כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים $a < c \in A$ וכן $b < d \in B$ ולכן $a + b < c + d \in A + B$ ו $a + b$ אינו חסם מלעיל של $A + B$
- יהי $m \in Q$ שאינו חסם מלעיל של $A + B$ , לכן קיימים $m < a + b \in A + B$ . כעת $m - a < b$ כלומר $m - a$ אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ $m = a + (m - a) \in A + B$ .

חתך האפס

נגדיר את חתך האפס:
- $0_{D} = {x \in Q | x < 0}$

נוכיח כי חתך האפס נייטרלי לחיבור:
- יהי חתך דדקינד $A$ צריך להוכיח כי $A + 0_{D} = A$
- נבצע הכלה דו כיוונית. בכיוון הראשון:
  - יהי $x = a + h \in A + 0_{D}$ צריך להוכיח כי $x \in A$
  - כיוון ש $h \in 0_{D}$ נובע לפי ההגדרה כי $h < 0$ ולכן $a + h < a$
  - לכן $x = a + h$ אינו חסם מלעיל של $A$ ולכן $x \in A$
- בכיוון השני:
  - יהי $a \in A$ צריך להוכיח כי $a \in A + 0_{D}$
  - אמרנו כי בחתך דדקינד אין איבר גדול ביותר, ולכן קיים $a < b \in A$
  - כיוון ש $a - b < 0$ נובע כי $a - b \in 0_{D}$
  - סה"כ $a = b + (a - b) \in A + 0_{D}$ כפי שרצינו.

נגדי

יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
- $- A = {x \in Q | \exists m \notin A : x < - m}$

לדוגמא $- {x \in Q | x < 2} = {x \in Q | x < - 2}$

הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
- הנגדי לא ריק:
  - כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן $- A \neq \emptyset$
- הנגדי חסום מלעיל:
  - יהי $a \in A$ לכן לכל $m \notin A$ מתקיים כי $a < m$ ולכן $- m < - a$
  - לכל $x \in - A$ קיים $m \notin A$ כך ש $x < - m$ ולכן $x < - a$
  - בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של $- A$ .
- כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
  - לכל איבר בנגדי $x < - m$ לכן אמצע הקטע בין $x, - m$ גדול מ $x$ וקטן מ $- m$ ולכן שייך לנגדי $- A$ ולכן $x$ אינו חסם מלעיל.
- אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
  - נניח $y$ אינו חסם מלעיל של $- A$ לכן קיים $y < x \in - A$ ולכן קיים $m \notin A$ כך ש $y < x < - m$ ולכן $y \in - A$

הוכחה שאכן מדובר באיבר נגדי

יהי חתך $A$ צריך להוכיח כי $A + (- A) = 0_{D}$
נבצע הכלה דו כיוונית
בכיוון ראשון:
- יהי $x + y \in (A + (- A))$ .
- כיוון ש $y \in (- A)$ קיים $m \notin A$ כך ש $y < - m$
- לכן $x + y < m + y < 0$
- לכן $x + y \in 0_{D}$
בכיוון שני:
- יהי $t \in 0_{D}$ כלומר $t < 0$
- רוצים למצוא $a \in A, b \in (- A)$ כך ש $a + b = t$
- נבחר $m \notin A$ כך ש $m + \frac{t}{2} \in A$
  - מדוע זה אפשרי? כי אם $m + \frac{t}{2} \notin A$ אז זה חסם, ואפשר להוסיף לו $\frac{t}{2}$ שזה מספר שלילי. אחרי מספיק פעמים נהיה קטנים מאיבר בקבוצה
- כעת $- m + \frac{t}{2} < - m$ ולכן $- m + \frac{t}{2} \in (- A)$ .
- סה"כ $t = (m + \frac{t}{2}) + (- m + \frac{t}{2}) \in A + (- A)$

יחס סדר

יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
הוכחה:
- יהיו שני חתכים A,B.
- אם קיים $m \notin A$ חסם מלעיל של A כך ש $m \in B$ אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר $A \subseteq B$
- אחרת, לכל $m \notin A$ מתקיים כי $m \notin B$ . כלומר $\overset{―}{A} \subseteq \overset{―}{B}$ ולכן $B \subseteq A$

נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש $0_{D} < A$ ונגדיר את החתכים השליליים על ידי $0_{D} > A$

טענה: $A \geq 0_{D}$ אם ורק אם $- A \leq 0_{D}$
הוכחה:
- ראשית נניח כי $A \geq 0_{D}$
  - כלומר בעצם $0_{D} \subseteq A$ ולכן לכל חסם מלעיל $m \notin A$ מתקיים כי $0 \leq m$ .
  - לכן לכל $x \in - A$ מתקיים כי $x < - m < 0$
  - כלומר כל האיברים ב $- A$ שליליים, ולכן $- A \subseteq 0_{D}$ כלומר $- A \leq 0_{D}$
- בכיוון ההפוך, נניח כי $- A \leq 0_{D}$
  - לכן כל האיברים ב $- A$ שליליים.
  - אם קיים $0 > m \notin A$ אזי $0 < - \frac{m}{2} \in - A$ בסתירה.
- לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר $0_{D} \subseteq A$ ולכן $A \geq 0_{D}$

כפל חתכי דדקינד

יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים $0_{D} \leq A, B$ , נגדיר את הכפל:
- $A \cdot B = {x \cdot y | x \in A ∖ 0_{D} \land y \in B ∖ 0_{D}} \cup 0_{D}$
אם A שלילי, וB אי שלילי, נגדיר:
- $A \cdot B = - ((- A) \cdot B)$
אם A אי שלילי, וB שלילי, נגדיר:
- $A \cdot B = - (A \cdot (- B))$
אם A,B שליליים נגדיר:
- $A \cdot B = (- A) \cdot (- B)$

הוכחה שהמכפלה נותנת חתך דדקינד

יהיו שני חתכי דדקינד חיוביים $0_{D} < A, B$

ברור שהמכפלה לא ריקה כיוון ש $0_{D} \subseteq A \cdot B$

כיוון שA,B חתכי דדקינד מדובר בקבוצות חסומות, אז קיימים חסמי מלעיל $m_{A}, m_{B}$ בהתאמה.
לכל $x y \in A B$ מתקיים כי $x < m_{A}, y < m_{B}$ ולכן $x y < m_{A} \cdot m_{B}$ . זה נכון כי החסמים חיוביים, כי מדובר בחתכים חיוביים.

אם $t \in A B$ צ"ל כי $t$ אינו חסם מלעיל של $A B$ .
אם $t \leq 0$ ברור שאינו חסם מלעיל של $A B$ כיוון שיש בקבוצה מספרים חיוביים.
לכן $t = x y \in A B$ .
כיוון ש $x$ אינו חסם מלעיל של $A$ קיים $x < z \in A$ ולכן $x y < z y \in A$ בסתירה.

אם $t \notin A B$ צ"ל כי $t$ חסם מלעיל.
נב"ש כי $t$ אינו חסם מלעיל, לכן יש בקבוצה איבר גדול ממנו.
כיוון ש $t \notin A B$ נובע כי $t > 0$ , ולכן האיבר שגדול ממנו הוא מהצורה $t < x y$ .
לכן $\frac{t}{y} < x$ , נבחר $x_{1} = \frac{t}{y} < x$ .
כיוון ש $x_{1} < x$ נובע כי $x_{1} \in A$ .
לכן $t = x_{1} y \in A \cdot B$ בסתירה.

אם אחד החתכים הוא $0_{D}$ קל להוכיח כי מכפלתם היא $0_{D}$ ולכן מהווה חתך.

חתך היחידה

נגדיר את חתך היחידה, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לכפל.
$1_{D} = {x \in Q | x < 1}$

הופכי

אם A חיובי נגדיר את ההופכי שלו להיות
$A^{- 1} = {x \in Q | \exists m \notin A : x < \frac{1}{m}}$
אם A שלילי נגדיר את ההופכי שלו להיות
$A^{- 1} = - (- A)^{- 1}$

הוכחה שההופכי הוא חתך דדקינד

נניח A חיובי, ויהי $0 < a \in A$ .
לכל חסם $m \notin A$ מתקיים כי $a < m$
לפיכך $\frac{1}{m} < \frac{1}{a}$
לכן $\frac{1}{a}$ הוא חסם מלעיל של $A^{- 1}$

ברור כי $A^{- 1}$ אינו ריק, כי לA יש חסם מלעיל, וכל מספר שקטן ממהופכי שלו שייך ל $A^{- 1}$

נוכיח כי כל מספר ב $A^{- 1}$ אינו חסם מלעיל.
אם $x < \frac{1}{m} \in A^{- 1}$ אז גם אמצע הקטע $x < y < \frac{1}{m} \in A^{- 1}$

לבסוף, יהי $x$ שאינו חסם מלעיל של $A^{- 1}$
לכן $x < y \in A^{- 1}$
והרי קיים חסם של A כך ש $y < \frac{1}{m}$
ולכן גם $x < \frac{1}{m}$ ולכן $x \in A^{- 1}$

הוכחה שאכן מדובר בהופכי

יהי A חיובי, נוכיח כי $A^{- 1} A = 1$

ראשית, נוכיח כי $A^{- 1} A \leq 1$
- יהי $0 < x a \in A^{- 1} A$
- $x \in A^{- 1}$ , לכן קיים חסם מלעיל $m \notin A$ כך ש $x < \frac{1}{m}$
- כמובן ש $a < m$
- ביחד $x a < \frac{1}{m} \cdot m = 1$ .

כעת נוכיח כי $A^{- 1} A \geq 1$
צ"ל כי אפשר לבחור איבר $x a \in A^{- 1} A$ הקרוב ל1 כרצוננו.
נבחר $0 < a \in A, m \notin A$ כך ש $a, m$ קרובים כרצוננו (אפשרי כי מכל זוג של מספר וחסם אפשר להחליף אחד מהם באמצע הקטע).
נבחר $x < \frac{1}{m}$ כך ש $x, \frac{1}{m}$ קרובים כרצוננו.
סה"כ $1 - x a = m \cdot \frac{1}{m} - a \cdot \frac{1}{m} + a \cdot \frac{1}{m} - a x = \frac{1}{m} (m - a) + a (\frac{1}{m} - x)$
כיוון שקבוצת החסמים $m$ חסומה מלמטה ע"י איברי חיובי מA, וכיוון שאפשר לקרב את $m - a$ כרצוננו לאפס, סה"כ אפשר לקרב את ההפרש הזה כרצוננו לאפס, כפי שרצינו.

לבסוף, אם $A$ שלילי, $A^{- 1} = - (- A)^{- 1}$
לכן $A^{- 1} A = - (- A)^{- 1} \cdot A = (- A)^{- 1} \cdot (- A) = 1$
- המעבר האחרון הוא לפי הגדרת הכפל עבור חתכים שליליים.

שדה הממשיים

הגדרת המספרים הממשיים

הגדרה: $R$ הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.

שדה הממשיים הוא סדר סדור

נוכיח שמדובר בשדה סדור ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל.

הוכחה

תכונות השדה

סגירות - הוכחנו לעיל שסכום חתכים הוא חתך, וכן כפל חתכים הוא חתך
חילופיות - טריוויאלי מחילופיות החיבור והכפל ברציונאליים.
אסוציאטיביות - טריוויאלי מאסוציאטיביות החיבור והכפל ברציונאליים.
נייטרלים - הגדרנו איברים נייטרלים לעיל ואפילו הוכחנו שהם אכן נייטרלים
נגדיים - הגדרנו והוכחנו לעיל
הופכיים - הגדרנו והוכחנו לעיל
פילוג - נובע מפילוג הרציונאליים

תכונות שדה סדור

איזוטוניות ביחס לסכום:
- יהיו חתכים A,B,C כך ש $A \leq B$ צ"ל כי $A + C \leq B + C$
- נתון כי $A \subseteq B$ צ"ל כי $A + C \subseteq B + C$
- יהי $a + c \in A + C$ , לכן $a \in B$ ולכן $a + c \in B + C$ .

יהיו זוג חתכים $A \leq B$ ויהי חתך $C$ חיובי. צ"ל כי $A C \leq B C$
- ראשית נניח כי A,B חתכים חיוביים
  - יהי $0 < a c \in A C$ כאשר $0 < a, c$ .
  - כיוון ש $A \subseteq B$ נובע כי $a \in B$ ולכן $a c \in B C$ .
- כעת נניח כי A שלילי ואילו B חיובי (המצב ההפוך סותר את הנתונים)
  - לפי הגדרת הכפל $A C = - ((- A) C)$ הוא חתך שלילי, ולכן בוודאי קטן מהחתך החיובי $B C$

לבסוף נניח כי A,B חתכים שליליים
ראשית נוכיח טענת עזר: $A \leq B$ אם ורק אם $- A \geq - B$
- בכיוון אחד, נתון כי $A \leq B$ ורוצים להוכיח כי $- A \geq - B$
  - יהי $x \in - B$ , כלומר קיים חסם $m \notin B$ כך ש $x < m$
  - כיוון ש $A \leq B$ נובע כי $m \notin A$ ולכן $x \in - A$
- בכיוון השני, נשתמש בכיוון הראשון ובעובדה כי $- (- A) = A$

כעת נחזור להוכחה:
מהנתון נובע כי $- A \geq - B$
כבר הוכחנו עבור חתכים חיוביים כי נובע ש $(- A) C \geq (- B) C$
לכן $- ((- A) C) \leq - ((- B) C)$
כלומר הוכחנו $A C \leq B C$

שלמות הממשיים

תהי $\emptyset \neq A \subseteq R$ קבוצה לא ריקה של מספרים ממשיים, וחסומה מלעיל (כלומר קיים $M \in R$ כך ש $\forall a \in A : a \leq M$ . אזי קיים ל $A$ חסם עליון ממשי.

הוכחה

נסמן ב $S$ את האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד ששייכים ל $A$ , כלומר $S = \cup_{x \in A} x$

נוכיח כי האיחוד הכללי של כל חתכי הדדקינד הוא גם חתך דדקינד.
- $S$ אינה ריקה
  - $A$ אינה ריקה, ולכן קיים $x \in A$ .
  - כיוון ש $x$ חתך דדקינד הוא אינו ריק.
  - $x \subseteq S$ ולכן $S$ אינה ריקה
- $S$ חסומה:
  - כיוון ש $M$ חסם מלעיל של $A$ לכל $x \in A$ מתקיים כי $x \leq M$
  - לפי יחס הסדר מתקיים כי $x \subseteq M$ .
  - כיוון שלכל $x \in A$ מתקיים כי $x \subseteq M$ נובע כי גם $S \subseteq M$ .
  - לכן $S$ חסומה מלעיל.
- נוכיח כי $x \in S$ אם ורק אם $x$ אינו חסם מלעיל של $S$
  - אם $x \in S$ אזי $x \in D \in A$
  - אם $x$ חסם מלעיל של $S$ אזי הוא בפרט חסם מלעיל של $D$ בסתירה.
  - מצד שני, אם $m$ חסם מלעיל של $S$ הוא בפרט חסם מלעיל של כל איברי $A$ ולכן אינו שייך לאף אחד מאיברי $A$ ולכן אינו שייך ל $S$

ברור כי לכל $x \in A$ מתקיים כי $x \leq S$ כיוון ש $x \subseteq S$ (כל קבוצה מוכלת באיחוד).

נוכיח כי $S$ הוא החסם העליון של $A$ .
נב"ש כי קיים $T$ חסם מלעיל של $A$ כך ש $T < S$ .
לכן קיים $x \in S ∖ T$ .
לכן קיים $D \in A$ כך ש $x \in D$ .
לכן $D ⊈ T$ בסתירה לכך ש $T$ חסם מלעיל של $A$

ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים

ייצוג עשרוני הוא זוג של סדרת הספרות (פונקציה מהטבעיים אל קבוצת הספרות 0-9) ומספר טבעי שהוא מיקום של הספרה העשרונית.
נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר.
- אם $a_{n}$ היא סדרת הספרות ו $k$ הוא מיקום הנקודה העשרונית נגדיר את המספר להיות:
- $sup {10^{k} \sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}}{10^{i}} | n \in N}$

דוגמא פשוטה:
עבור הסדרה הקבועה $a_{n} = 9$ , ומיקום הנקודה העשרונית $k = 0$ נקבל את הייצוג העשרוני $0.999 . . .$
לפי ההגדרה לעיל יוצא כי:
- $0.999 . . . = sup {0, 0.9, 0.99, 0.999, . . .}$

קל להוכיח כי החסם העליון של קבוצה זו הוא 1.
1 הוא חסם מלעיל של הקבוצה
לכל מספר קטן מ1 יש איבר בקבוצה שגדול ממנו, כי סדרת איברי הקבוצה שואפת ל1.
מסקנה: $1 = 0.999 . . .$