שינויים
יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == לכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ומספרים <math>a,b \in \mathbb{R}</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}..."
== שאלה 1 ==
לכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ומספרים <math>a,b \in \mathbb{R}</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}</math> (ז"א ש-<math>aE+b</math> היא תמונת <math>E</math> תחת הפונקציה הלינארית <math>x \mapsto ax+b</math>).
הוכיחו: <math>m^*(aE+b)=|a| m^*(E)</math>
== שאלה 2 ==
א. יהי <math>\{E_n\}_{n=1}^N</math> אוסף סופי של תתי-קבוצות של <math>\mathbb{R}</math>. הוכיחו שמתקיים <math>\overline{\cup_{n=1}^N E_n}=\cup_{n=1}^N \overline{E_n}</math>
ב. הוכיחו שלא בהכרח מתקיים שוויון כאשר מדובר באוסף אינסופי.
== שאלה 3 ==
'''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G \subseteq \mathbb{R}</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.
תהי <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> הוכיחו שקיימת קבוצה <math>G \in G_\delta</math> המקיימת <math>E \subseteq G</math> וכן <math>m^*(G)=m^*(E)</math>
'''הדרכה:''' עקבו אחרי השלבים הבאים:
א. הוכיחו שלכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת קבוצה פתוחה <math>O</math>, המקיימת <math>E \subseteq O</math> וכן
<math>m^*(O) \leq m^*(E)+\varepsilon</math>
ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.
== שאלה 4 ==
הראו שלכל קטע (לא טריוויאלי) יש תת קבוצה לא מדידה. (רמז: תרגיל 1)
בהצלחה!
לכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ומספרים <math>a,b \in \mathbb{R}</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}</math> (ז"א ש-<math>aE+b</math> היא תמונת <math>E</math> תחת הפונקציה הלינארית <math>x \mapsto ax+b</math>).
הוכיחו: <math>m^*(aE+b)=|a| m^*(E)</math>
== שאלה 2 ==
א. יהי <math>\{E_n\}_{n=1}^N</math> אוסף סופי של תתי-קבוצות של <math>\mathbb{R}</math>. הוכיחו שמתקיים <math>\overline{\cup_{n=1}^N E_n}=\cup_{n=1}^N \overline{E_n}</math>
ב. הוכיחו שלא בהכרח מתקיים שוויון כאשר מדובר באוסף אינסופי.
== שאלה 3 ==
'''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G \subseteq \mathbb{R}</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.
תהי <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> הוכיחו שקיימת קבוצה <math>G \in G_\delta</math> המקיימת <math>E \subseteq G</math> וכן <math>m^*(G)=m^*(E)</math>
'''הדרכה:''' עקבו אחרי השלבים הבאים:
א. הוכיחו שלכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת קבוצה פתוחה <math>O</math>, המקיימת <math>E \subseteq O</math> וכן
<math>m^*(O) \leq m^*(E)+\varepsilon</math>
ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.
== שאלה 4 ==
הראו שלכל קטע (לא טריוויאלי) יש תת קבוצה לא מדידה. (רמז: תרגיל 1)
בהצלחה!
