אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חומרי עזר


סרטונים ותקצירי הרצאות

הפלייליסט של כל הסרטונים

פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה

מכפלה סקלרית

v\cdot w = |v||u|\cos(\theta)

מכפלה פנימית

יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} או \mathbb{F}=\mathbb{C}

מכפלה פנימית היא מכפלה \langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F} המקיימת את ארבע התכונות הבאות:

לכל x,y\in V ולכל c\in\mathbb{F} מתקיים כי:

  • אדטיביות \langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle
  • כפל בסקלר \langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle
  • הרמיטיות \langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}
  • אי שליליות \langle x,x\rangle \geq 0 וכן \langle x,x\rangle =0 אם ורק אם x=0



\langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+
b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle


נורמה ונורמה מושרית

יהי V מרחב וקטורי מעל \mathbb{F}=\mathbb{R} או \mathbb{F}=\mathbb{C}

נורמה היא פונקציה ||\cdot||:V\to\mathbb{R} המקיימת את שלושת התכונות הבאות.

לכל x,y\in V ולכל c\in\mathbb{F} מתקיים כי:

  • אי שליליות ||x|\geq 0 וכן ||x||=0 אם ורק אם x=0
  • כפל בסקלר ||cx|| = |c|\cdot ||x||
  • אי שיוויון המשולש ||x+y||\leq ||x||+||y||


מכפלה פנימית מושרית

  • האם כל נורמה היא נורמה מושרית?
  • האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?

לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.

פרק 2 - המרחב הניצב

  • משפט הפירוק הניצב
  • בא"נ והיטלים
  • אי שיוויון בסל
  • משפט פיתגורס
  • גרם שמידט

פרק 3 - לכסון, וקטורים עצמיים וערכים עצמיים

פרק 4 - צורת ז'ורדן

פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי

פרק 6 - מיון משוואות ממעלה שנייה