שינויים
/* נורמה מושרית */
לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.
צריך להוכיח כי:
:<math>||v+w||\leq ||v||+||w||</math>
כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול:
:<math>||v+w||^2 \leq ||v||^2 +2||v||\cdot ||w||+||w||^2</math>
נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה:
:<math>||v+w||^2=\langle v+w,v+w \rangle = \langle v,v \rangle + \langle v, w\rangle + \langle w, v\rangle + \langle w,w \rangle =</math>
:<math>=||v||^2 +\langle v, w\rangle + \overline{\langle v, w\rangle}+ ||w||^2 = ||v||^2 +2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2</math>
כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את <math>||v||^2+||w||^2</math> משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא:
:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math>
נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר:
מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי
:<math>\langle v-w, v-w\rangle\geq 0</math>
ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי
:<math>0\leq \langle v-w,v-w \rangle = ||v||^2 -2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2</math>
מכאן נובע כי
:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{||v||^2+||w||^2}{2} </math>
כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש
===מכפלה פנימית מושרית===
