שינויים
/* הוכחה */
=חומרי עזר=
*[[88-113Exams| מבחנים ובחנים עם פתרונות]]
=סרטונים ותקצירי הרצאות=
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-umgzN7d5aFNXSWaddo-BgU הפלייליסט של כל הסרטונים]
==פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה==
<videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash>
===נורמה ונורמה מושרית===
יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>
<videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash>
===נורמה מושרית===
יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>.
הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה <math>||\cdot||:V\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י הנוסחא:
:<math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} </math>
שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב -
מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי <math>0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R}</math> ולכן מותר להוציא שורש.
====הנורמה המושרית היא אכן נורמה====
נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.
תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי <math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0</math> ממש לפי הגדרת פונקצית השורש.
כמו כן, נקבל כי <math>||v||=0</math> אם ורק אם <math>\langle v,v\rangle=0</math> אם ורק אם, לפי תכונת המכפלה הפנימית, <math>v=0_V</math>
כעת, יהי סקלר <math>c\in\mathbb{C}</math> אזי
:<math>||cv||=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{|c|^2\langle v,v\rangle}=|c|\cdot \langle v,v\rangle=|c|\cdot ||v||</math>
לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.
צריך להוכיח כי:
:<math>||v+w||\leq ||v||+||w||</math>
כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול:
:<math>||v+w||^2 \leq ||v||^2 +2||v||\cdot ||w||+||w||^2</math>
נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה:
:<math>||v+w||^2=\langle v+w,v+w \rangle = \langle v,v \rangle + \langle v, w\rangle + \langle w, v\rangle + \langle w,w \rangle =</math>
:<math>=||v||^2 +\langle v, w\rangle + \overline{\langle v, w\rangle}+ ||w||^2 = ||v||^2 +2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2</math>
כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את <math>||v||^2+||w||^2</math> משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא:
:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math>
נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר:
מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי
:<math>\langle v-w, v-w\rangle\geq 0</math>
ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי
:<math>0\leq \langle v-w,v-w \rangle = ||v||^2 -2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +||w||^2</math>
מכאן נובע כי
:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{||v||^2+||w||^2}{2} </math>
כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש. צ"ל כי <math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math>
אם <math>v=0_V</math> או <math>w=0_V</math> התוצאה מיידית כי שני הצדדים שווים אפס.
אחרת, נציב את הוקטורים המנורמלים <math>\frac{v}{||v||} , \frac{w}{||w||}</math> באי שיוויון העזר ונקבל:
:<math>Re\left(\langle \frac{v}{||v||}, \frac{w}{||w||}\rangle\right)\leq \frac{||\frac{v}{||v||}||^2+||\frac{w}{||w||}||^2}{2}</math>
ולכן
:<math>Re\left(\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}</math>
:<math>\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \cdot Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}</math>
וסה"כ, קיבלנו את מה שצריך:
:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math>
===אי שיוויון קושי-שוורץ===
בהנתן מרחב מכפלה פנימית <math>V</math> יחד עם הנורמה המושרית, לכל <math>v,w\in V</math> מתקיים כי
:<math>|\langle v,w\rangle | \leq ||v||\cdot ||w||</math>
====הוכחה====
נציב את הוקטורים <math>v, \langle v,w \rangle w</math> באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל:
:<math>Re\left(\langle v, \langle v,w \rangle w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w||</math>
ולכן
:<math>Re\left(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot |\langle v,w \rangle|\cdot ||w||</math>
כלומר
:<math>|\langle v,w \rangle|^2 \leq |\langle v,w \rangle|\cdot ||v||\cdot||w||</math>
כעת אם <math>\langle v,w \rangle=0</math> אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב<math>|\langle v,w \rangle|</math> ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.
===מכפלה פנימית מושרית===
