שינויים
/* הוכחה */
תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי <math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0</math> ממש לפי הגדרת פונקצית השורש.
כמו כן, נקבל כי <math>||v||=0</math> אם ורק אם <math>\langle v,v\rangle=0</math> אם ורק אם, לפי תכונת המכפלה הפנימית, <math>v=0_V</math>
כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש. צ"ל כי <math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math> אם <math>v=0_V</math> או <math>w=0_V</math> התוצאה מיידית כי שני הצדדים שווים אפס. אחרת, נציב את הוקטורים המנורמלים <math>\frac{v}{||v||} , \frac{w}{||w||}</math> באי שיוויון העזר ונקבל: :<math>Re\left(\langle \frac{v}{||v||}, \frac{w}{||w||}\rangle\right)\leq \frac{||\frac{v}{||v||}||^2+||\frac{w}{||w||}||^2}{2}</math> ולכן :<math>Re\left(\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}</math> :<math>\frac{1}{||v||\cdot ||w||} \cdot Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{1+1}{2}</math> וסה"כ, קיבלנו את מה שצריך: :<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||w||</math> ===אי שיוויון קושי-שוורץ===בהנתן מרחב מכפלה פנימית <math>V</math> יחד עם הנורמה המושרית, לכל <math>v,w\in V</math> מתקיים כי:<math>|\langle v,w\rangle | \leq ||v||\cdot ||w||</math> ====הוכחה====נציב את הוקטורים <math>v, \langle v,w \rangle w</math> באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל: :<math>Re\left(\langle v, \langle v,w \rangle w\rangle\right)\leq ||v||\cdot ||\langle v,w \rangle w||</math> ולכן :<math>Re\left(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v, w\rangle\right)\leq ||v||\cdot |\langle v,w \rangle|\cdot ||w||</math> כלומר :<math>|\langle v,w \rangle|^2 \leq |\langle v,w \rangle|\cdot ||v||\cdot||w||</math> כעת אם <math>\langle v,w \rangle=0</math> אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב<math>|\langle v,w \rangle|</math> ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.
===מכפלה פנימית מושרית===
