הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע <math>f(0,0)=0</math> כי אם ניקח את הסדרות <math>x_{n}=y_{n}=\frac{1}{n}</math> נקבל <math>f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\to 1</math> לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן".
====תרגיל====
האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: <math>f(x,y)=\begin{cases}
\frac{\sin(x\cdot y)}{x} & x\neq0\\
0 & x=0
\end{cases}</math>
=====פתרוןו=====
אכן כן. נלך לפי הגדרה: צריך להראות שלכל שתי סדרות <math>x_{n},y_{n}</math> מתקיים: <math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|\to 0</math>. נראה זאת:
<math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|=|\frac{\sin(x_{n}y_{n})}{x_{n}}|=\frac{|\sin(x_{n}y_{n})|}{|x_{n}|}</math>. עכשיו נשתמש ברמז שכתוב: תמיד מתקיים <math>|\sin x|\leq|x|</math>, ולכן אצלנו נקבל <math>|\sin(xy)|\leq|xy|</math> ונוכל להמשיך:
<math>\frac{|\sin(x_{n}y_{n})|}{|x_{n}|}\leq\frac{|x_{n}y_{n}|}{|x_{n}|}=\frac{|x_{n}|\cdot|y_{n}|}{|x_{n}|}=|y_{n}|\to 0</math>