גבול פונקציה

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה לפונקציות

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה - האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, x יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

גבול פונקציה לפי קושי

הגדרה.

L נקרא הגבול של f בנקודה a אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל \varepsilon>0 קיים \delta>0 כך שלכל 0<|x-a|<\delta מתקיים \Big|f(x)-L\Big|<\varepsilon .

(הערה: סביבה מנוקבת של a הנה סביבה של a שמוציאים ממנה את a .)

הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר y שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר x (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר x קרובות מספיק ל-a אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-L .


תרגיל.

הוכח לפי ההגדרה כי \lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8

פתרון

יהי \varepsilon>0 . צריך להוכיח כי קיים \delta>0 , כך שאם 0<|x-2|<\delta אזי מתקיים \left|\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|<\varepsilon

נפתח את הביטוי:

\left|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|=\left|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\right|=\left|\frac{x^2-2x}{x+1}\right|=\left|\frac{x(x-2)}{x+1}\right|

אנו רואים כי כאשר x\to2 המונה שואף ל-0 והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על-ידי קבוע גדול מ-0, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.

כאשר \delta<1 , עבור 0<|x-2|<\delta<1 מתקיים 2<x+1 ולכן:

\left|\dfrac{x(x-2)}{x+1}\right|<\dfrac{|x(x-2)|}{2}

כמו כן, מתקיים x<3 ולכן:

\left|\dfrac{x(x-2)}{x+1}\right|<\dfrac{3|x-2|}{2}<\dfrac32\delta

לסיכום, קיים דלתא כך ש- \delta<1 וגם \delta<\dfrac23\varepsilon עבורו מתקיים:

\left|\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|<\dfrac32\delta=\varepsilon

גבול פונקציה לפי היינה

בהגדרת קושי לגבול פונקציה הכללנו את הרעיון של גבול של סדרה, אך לא השתמשנו בו. בהגדרת הגבול לפי היינה נסתמך על הגדרת הגבול של סדרה.

הגדרה. L נקרא הגבול של f בנקודה a אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל סדרה x_n המקיימת את שני התנאים הבאים:

  • \forall n:x_n\ne a
  • \lim_{n\to\infty}x_n=a (כאשר זהו גבול של סדרות)

מתקיים כי הסדרה f(x_n) שואפת ל- L (שוב, גבול של סדרות).

תרגיל.

הוכח כי \lim\limits_{x\to x_0}ax^k=ax_0^k

פתרון. לכל סדרה x_0\ne x_n\to x_0 מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי

ax^k=a\cdot x\cdots x\to a\cdot x_0\cdots x_0=ax_0^k

מסקנה. קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים \lim\limits_{x\to x_0}p(x)=p(x_0)

תרגיל.

הוכח כי לא קיים הגבול \lim\limits_{x\to 0}\sin(e^{\frac{1}{x}})

הוכחה. נראה כי קיימות סדרות

0\ne x_k,y_k\to 0

כך ש-

\lim f(x_k)\ne\lim f(y_k)

נזכר בעובדה שלכל מספר שלם k מתקיים:

\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=1
\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)=-1

נרצה סדרה המקיימת

e^\frac{1}{x_k}=\frac{\pi}{2}+2\pi k

ולכן ניקח

x_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)}

באופן דומה ניקח

y_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)}

ואז נקבל

\lim f(x_k)=1\ne -1=\lim f(y_k)

גבולות ידועים

\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1

דוגמאות

חשב את הגבולות הבאים:

  • \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}

פתרון:

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\frac{x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}\frac{x}{\sin(x)}=0\cdot 1=0


  • \lim_{x\to 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}

פתרון:

\lim_{x\to 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}=\lim_{x\to 0}\frac{x(5x+2)}{x(3x^2+2x+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{5x+2}{3x^2+2x+1}=2

הערה: שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא הנמוכה בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.


  • \lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)

פתרון: נבצע הצבה y=\frac{1}{x} ולכן זה בעצם שווה לגבול

\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)=\lim_{y\to 0^+}\frac{\sin(y)}{y}=1


  • \lim_{x\to 0}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)

פתרון: שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הנו 0 .


  • f(x)=\begin{cases}x^2 & x\in\Q \\ 0 & x\notin\Q\end{cases}

הראנו בסרטון על הגדרת הגבול לפי סדרות (לעיל) כי גבול פונקציה זו קיים אך ורק בנקודה 0 וערכו שם הוא 0 .