שינויים

יהי אפסילון גדול מאפס. צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס, כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים <math>\Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|<\epsilon</math> נפתח את הביטוי: ::<math>\Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|=\Big|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x^2-2x}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|</math>  אנו רואים כי כאשר x שואף ל-2 המונה שואף לאפס, והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי. כאשר <math>\delta<1</math>, עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:  ::<math>\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|<\frac{|x(x-2)|}{2}</math>  כמו כן, מתקיים <math>x<3</math> ולכן: ::<math>\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|<\frac{3|x-2|}{2}<\frac{3}{2}\delta</math>  לסיכום, קיים דלתא כך ש <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\frac{2}{3}\epsilon</math> עבורו מתקיים:  ::<math>\Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|<\frac{3}{2}\delta=\epsilon</math>