שינויים

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, <math>x </math> יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

<font size=4 color=#3c498evideoflash>'''הגדרה.''' Jp5FqgylIak</font>L נקרא '''הגבול של f בנקודה a''' אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</mathvideoflash>

(הערה: סביבה מנוקבת של <math>a הינה </math> הנה סביבה של <math>a </math> שמוציאים ממנה את <math>a</math> .)

;פתרוןיהי <font size=4 color=#a7adcdmath>\varepsilon>0</math>'''תרגיל.''' צריך להוכיח כי קיים <math>\delta>0</math> , כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים <math>\left|\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|<\varepsilon</fontmath>

הוכח לפי ההגדרה כי נפתח את הביטוי::<math>\lim_left|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\rightarrow right|=\left|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\right|=\left|\frac{x^2-2x}{x+1}\right|=\left|\frac{x(x-2)}{x+1}\right|</math>אנו רואים כי כאשר <math>x\to2</math> המונה שואף ל-0 והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על-ידי קבוע גדול מ-0, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי. כאשר <math>\delta<1</math> , עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן::<math>\left|\dfrac{x(x-2)}{x+1}\right|<\dfrac{|x(x-2)|}{2}</math>כמו כן, מתקיים <math>x<3</math> ולכן::<math>\left|\dfrac{x(x-2)}{x+1}\right|<\dfrac{3|x-2|}{2}<\dfrac32\delta</math>לסיכום, קיים דלתא כך ש- <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\dfrac23\varepsilon</math> עבורו מתקיים::<math>\left|\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}=-8\right|<\dfrac32\delta=\varepsilon</math> ==גבול פונקציה לפי היינה==<videoflash>wb7n_n5F8iU</videoflash> בהגדרת קושי לגבול פונקציה הכללנו את הרעיון של גבול של סדרה, אך לא השתמשנו בו. בהגדרת הגבול לפי היינה נסתמך על הגדרת הגבול של סדרה. <font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font><math>L</math> נקרא '''הגבול של <math>f</math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f</math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math> וגם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת את שני התנאים הבאים:*<math>\forall n:x_n\ne a</math>*<math>\lim_{n\to\infty}x_n=a</math> (כאשר זהו גבול של סדרות) מתקיים כי הסדרה <math>f(x_n)</math> שואפת ל- <math>L</math> (שוב, גבול של סדרות). <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> הוכח כי <math>\lim\limits_{x\to x_0}ax^k=ax_0^k</math>

יהי אפסילון גדול מאפסלכל סדרה <math>x_0\ne x_n\to x_0</math> מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי:<math>ax^k=a\cdot x\cdots x\to a\cdot x_0\cdots x_0=ax_0^k</math> '''מסקנה. צריך להוכיח ''' קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים <math>\lim\limits_{x\to x_0}p(x)=p(x_0)</math> <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.'''</font> הוכח כי לא קיים דלתא גדול מאפסהגבול <math>\lim\limits_{x\to 0}\sin(e^{\frac{1}{x}})</math> '''הוכחה.''' נראה כי קיימות סדרות:<math>0\ne x_k, y_k\to 0</math> כך שאם ש-:<math>\lim f(x_k)\ne\lim f(y_k)</math> נזכר בעובדה שלכל מספר שלם k מתקיים::<math>\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=1</math> :<math>\sin\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)=-1</math>נרצה סדרה המקיימת:<math>e^\frac{1}{x_k}=\frac{\pi}{2}+2\pi k</math>ולכן ניקח:<math>x_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>באופן דומה ניקח:<math>y_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>ואז נקבל :<math>\lim f(x_k)=1\ne -1=\lim f(y_k)</math> ==גבולות ידועים==:<math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1<|/math> :<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0</math> :<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2|}=\frac{1}{2}</math> :<math>\deltalim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1</math> אזי מתקיים  ==דוגמאות==חשב את הגבולות הבאים:*<math>\Big|lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}</math>'''פתרון'''::<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\frac{x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}\frac{x}{\sin(x)}=0\cdot 1=0</math>  *<math>\lim_{x\to 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}</math>'''פתרון'''::<math>\lim_{x\to 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}=\lim_{x\to 0}\frac{x(5x+2)}{x(3x^2+2x+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{5x+42}{3x^2+2x+1}=2</math> '''הערה''': שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.  *<math>\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math>'''פתרון''': נבצע הצבה <math>y=\frac{1}{x}</math> ולכן זה בעצם שווה לגבול:<math>\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)=\lim_{y\to 0^+}\frac{\sin(y)}{y}=1</math>  *<math>\lim_{x\to 0}-8x\Big|sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math>'''פתרון''': שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הנו <math>0</math> .  *<math>f(x)=\epsilonbegin{cases}x^2 & x\in\Q \\ 0 & x\notin\Q\end{cases}</math> הראנו בסרטון על הגדרת הגבול לפי סדרות (לעיל) כי גבול פונקציה זו קיים אך ורק בנקודה <math>0</math> וערכו שם הוא <math>0</math> .