שינויים

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, <math>x </math> יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

<font size=4 color=#3c498evideoflash>'''הגדרה.''' Jp5FqgylIak</font>L נקרא '''הגבול של f בנקודה a''' אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</mathvideoflash>

(הערה: סביבה מנוקבת של <math>a הינה </math> הנה סביבה של <math>a </math> שמוציאים ממנה את <math>a</math> .)

;פתרוןיהי <font size=4 color=#a7adcdmath>\varepsilon>0</math>'''תרגיל.''' צריך להוכיח כי קיים <math>\delta>0</math> , כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים <math>\left|\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|<\varepsilon</fontmath>

הוכח לפי ההגדרה כי נפתח את הביטוי::<math>\lim_{x\rightarrow 2}left|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|=\left|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\right|=\left|\frac{x^2-2x}{x+1}\right|=\left|\frac{x(x-2)}{x+1}\right|</math>אנו רואים כי כאשר <math>x\to2</math>המונה שואף ל-0 והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על-ידי קבוע גדול מ-0, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.

'''פתרון.'''יהי אפסילון גדול מאפס. צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפסכאשר <math>\delta<1</math> , כך שאם עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> אזי מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן::<math>\Bigleft|\fracdfrac{x(x-2)}{x+1}\right|<\dfrac{|x(x-2)|}{2}</math>כמו כן, מתקיים <math>x<3</math> ולכן::<math>\left|\dfrac{x(x-2)}{x+1}\right|<\dfrac{3|x-2|}{2}<\dfrac32\delta</math>לסיכום, קיים דלתא כך ש- <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\dfrac23\varepsilon</math> עבורו מתקיים::<math>\left|\dfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Bigright|<\epsilondfrac32\delta=\varepsilon</math>

אנו רואים מתקיים כי כאשר x שואף הסדרה <math>f(x_n)</math> שואפת ל-2 המונה שואף לאפס<math>L</math> (שוב, והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטויגבול של סדרות).

כאשר <mathfont size=4 color=#a7adcd>\delta<1</math>, עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1'''תרגיל.'''</mathfont> ולכן:

::'''פתרון.'''לכל סדרה <math>x_0\Big|ne x_n\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|to x_0</math> מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי:<math>ax^k=a\frac{|cdot x(\cdots x-2)|}{2}\to a\cdot x_0\cdots x_0=ax_0^k</math>

כמו כן, מתקיים <mathfont size=4 color=#a7adcd>x<3'''תרגיל.'''</mathfont> ולכן:

::הוכח כי לא קיים הגבול <math>\Big|lim\fraclimits_{x\to 0}\sin(x-2)}e^{x+1}\Big|<\frac{3|x-2|1}{2x}<\frac{3}{2}\delta)</math>

לסיכום, קיים דלתא כך ש -:<math>\delta<1</math> וגם <math>lim f(x_k)\delta<ne\frac{2}{3}\epsilonlim f(y_k)</math> עבורו מתקיים:

::<math>\Big|sin\left(\frac{(x3\pi}{2}+2\pi k\right)=-1</math>נרצה סדרה המקיימת:<math>e^\frac{1}{x_k}=\frac{\pi}{2}+2\pi k</math>ולכן ניקח:<math>x_k=\frac{1}{\ln\Big(x\frac{\pi}{2}+42\pi k\Big)}</math>באופן דומה ניקח:<math>y_k=\frac{x+1}-8{\ln\Big|<(\frac{3\pi}{2}+2\deltapi k\Big)}</math>ואז נקבל :<math>\lim f(x_k)=1\epsilonne -1=\lim f(y_k)</math>

:<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}==גבול פונקציה לפי היינה==בהגדרת קושי לגבול פונקציה הכללנו את הרעיון של גבול של סדרה, אך לא השתמשנו בו. בהגדרת הגבול לפי היינה נסתמך על הגדרת הגבול של סדרה.0</math>

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>L נקרא '''הגבול של f בנקודה a''' אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת את שני התנאים הבאים:*<math>\forall n:x_nlim_{x\neq a</math>*<math>to 0}\lim_frac{n\rightarrow\inftyln(1+x)}{x}x_n=a1</math> (כאשר זהו גבול של סדרות)

מתקיים כי הסדרה ==דוגמאות==חשב את הגבולות הבאים:*<math>f\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x_nx)}{\sin(x)}</math> שואפת ל'''פתרון'''::<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-L \cos(שוב, גבול של סדרותx).}{\sin(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\frac{x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}\frac{x}{\sin(x)}=0\cdot 1=0</math>

הוכח כי *<math>\lim_{x\rightarrow x_0to 0}ax\frac{5x^k2+2x}{3x^3+2x^2+x}</math>'''פתרון'''::<math>\lim_{x\to 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}=ax_0\lim_{x\to 0}\frac{x(5x+2)}{x(3x^k2+2x+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{5x+2}{3x^2+2x+1}=2</math>

*<math>\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math>'''פתרון'''::נבצע הצבה <math>ax^ky=a\cdot frac{1}{x }</math> ולכן זה בעצם שווה לגבול:<math>\cdots lim_{x\rightarrow ato\cdot x_0 infty}x\cdots x_0 sin\left(\tfrac{1}{x}\right)= ax_o\lim_{y\to 0^k+}\frac{\sin(y)}{y}=1</math>  *<math>\lim_{x\to 0}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math>'''פתרון''': שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הנו <math>0</math>. 

'''מסקנה.''' קל להראות הראנו בסרטון על הגדרת הגבול לפי סדרות (לעיל) כי לכל פולינום p מתקיים גבול פונקציה זו קיים אך ורק בנקודה <math>\lim_{x\rightarrow x_0}p(x)=p(x_0)0</math>וערכו שם הוא <math>0</math> .