שינויים

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, <math>x </math> יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

<font size=4 color=#3c498evideoflash>'''הגדרה.''' Jp5FqgylIak</font>L נקרא '''הגבול של f בנקודה a''' אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>|f(x)-L|<\epsilon</mathvideoflash>

(הערה: סביבה מנוקבת של <math>a הינה </math> הנה סביבה של <math>a </math> שמוציאים ממנה את <math>a</math> .)

;פתרוןיהי <font size=4 color=#a7adcdmath>\varepsilon>'''תרגיל.''' 0</fontmath> הוכח לפי ההגדרה . צריך להוכיח כי קיים <math>\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8delta>0</math> '''פתרון.'''יהי אפסילון גדול מאפס. צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס, כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים <math>\Bigleft|\fracdfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Bigright|<\epsilonvarepsilon</math>

::<math>\Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|=\Big|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x^2-2x}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|</math>  אנו רואים כי כאשר x שואף ל-2 המונה שואף לאפס, והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי. כאשר <math>\delta<1</math>, עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:  ::<math>\Bigleft|\fracdfrac{x(x-2)}{x+1}\Bigright|<\fracdfrac{|x(x-2)|}{2}</math>  

::==גבול פונקציה לפי היינה==<mathvideoflash>\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|<\frac{3|x-2|}{2}<\frac{3}{2}\deltawb7n_n5F8iU</mathvideoflash>

מתקיים כי הסדרה <font size=4 color=#3c498emath>'''הגדרה.''' </font>L נקרא '''הגבול של f בנקודה a''' אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל סדרה <math>(x_n)</math> המקיימת את שני התנאים הבאים:*שואפת ל- <math>\forall n:x_n\neq a</math>*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=aL</math> (כאשר זהו שוב, גבול של סדרות).

מתקיים כי הסדרה <mathfont size=4 color=#a7adcd>f(x_n)'''תרגיל.'''</mathfont> שואפת ל-L (שוב, גבול של סדרות).

הוכח כי <font sizemath>\lim\limits_{x\to x_0}ax^k=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' ax_0^k</fontmath>

הוכח כי '''פתרון.'''לכל סדרה <math>x_0\lim_{xne x_n\rightarrow to x_0}</math> מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי:<math>ax^k=a\cdot x\cdots x\to a\cdot x_0\cdots x_0=ax_0^k</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''פתרוןתרגיל.'''לכל סדרה <math>x_0\neq x_n\rightarrow x_0</mathfont> מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי

::הוכח כי לא קיים הגבול <math>ax^k=a\cdot x lim\cdots limits_{x\rightarrow ato 0}\cdot x_0 sin(e^{\cdots x_0 = ax_o^kfrac{1}{x}})</math>

'''מסקנה.''' קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים כך ש-:<math>\lim_{x\rightarrow x_0}plim f(xx_k)=p\ne\lim f(x_0y_k)</math>

נזכר בעובדה שלכל מספר שלם k מתקיים::<font sizemath>\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' 1</fontmath>

הוכח כי לא קיים הגבול :<math>\lim_sin\left(\frac{x3\rightarrow 0pi}sin({2}+2\pi k\right)=-1</math>נרצה סדרה המקיימת:<math>e^\frac{1}{x_k}=\frac{\pi}{2}+2\pi k</math>ולכן ניקח:<math>x_k=\frac{1}{x\ln\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>באופן דומה ניקח:<math>y_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>ואז נקבל :<math>\lim f(x_k)=1\ne -1=\lim f(y_k)</math>

'''הוכחה.''' נראה כי קיימות סדרות::<math>\lim_{x\to 0}\neq x_k,y_kfrac{1-\rightarrow cos(x)}{x}=0</math>

כך ש::<math>\lim f(x_k)lim_{x\neq to 0}\lim ffrac{1-\cos(y_kx)}{x^2}=\frac{1}{2}</math>

נזכר בעובדה שלכל מספר שלם k מתקיים==דוגמאות==חשב את הגבולות הבאים:*<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}</math>'''פתרון'''::<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\Biglim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\frac{x}{x}=\pilim_{x\to 0}\frac{21-\cos(x)}{x}+2\pi kfrac{x}{\Bigsin(x)}=0\cdot 1=0</math>

*<math>\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math>'''פתרון''': נבצע הצבה <math>y=\frac{1}{x}</math> ולכן ניקחזה בעצם שווה לגבול:<math>\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)=\lim_{y\to 0^+}\frac{\sin(y)}{y}=1</math>

באופן דומה ניקח::*<math>y_k=\fraclim_{1x\to 0}{lnx\Bigsin\left(\fractfrac{3\pi1}{2x}+2\pi k\Bigright)}</math>'''פתרון''': שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הנו <math>0</math> .

::הראנו בסרטון על הגדרת הגבול לפי סדרות (לעיל) כי גבול פונקציה זו קיים אך ורק בנקודה <math>\lim f(x_k)=1\neq -1 =\lim f(y_k)0</math> וערכו שם הוא <math>0</math>.