שינויים

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, <math>x </math> יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font><math>L </math> נקרא '''הגבול של <math>f </math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f </math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a </math> וגם לכל <math>\epsilonvarepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-L\Big|<\epsilonvarepsilon</math>.

(הערההסבר ההגדרה: סביבה מנוקבת של a הינה סביבה של a שמוציאים ממנה את לכל מרחק על ציר <math>y</math> שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר <math>x</math> (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר <math>x</math> קרובות מספיק ל-<math>a</math> אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-<math>L</math> .)

הסבר ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>הוכח לפי ההגדרה: לכל מרחק על ציר y שנבחר כי <math>\lim\limits_{x\to2}\dfrac{(אפסילון) יש מרחק על ציר x +2)(דלתאx+4) כך שאם הנקודות על ציר }{x קרובות מספיק ל-a אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-L.+1}=8</math>

;פתרוןיהי <font size=4 color=#a7adcdmath>\varepsilon>'''תרגיל.''' 0</fontmath> הוכח לפי ההגדרה . צריך להוכיח כי קיים <math>\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8delta>0</math> '''פתרון.'''יהי אפסילון גדול מאפס. צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס, כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים <math>\Bigleft|\fracdfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Bigright|<\epsilonvarepsilon</math>

::<math>\Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|=\Big|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x^2-2x}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|</math>  אנו רואים כי כאשר x שואף ל-2 המונה שואף לאפס, והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי. כאשר <math>\delta<1</math>, עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:  ::<math>\Bigleft|\fracdfrac{x(x-2)}{x+1}\Bigright|<\fracdfrac{|x(x-2)|}{2}</math>  

 ::<math>\Bigleft|\fracdfrac{x(x-2)}{x+1}\Bigright|<\fracdfrac{3|x-2|}{2}<\frac{3}{2}dfrac32\delta</math>  לסיכום, קיים דלתא כך ש - <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\frac{2}{3}dfrac23\epsilonvarepsilon</math> עבורו מתקיים:  ::<math>\Bigleft|\fracdfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Bigright|<\frac{3}{2}dfrac32\delta=\epsilonvarepsilon</math> 

מתקיים כי הסדרה <font size=4 color=#3c498emath>'''הגדרה.''' </font>L נקרא '''הגבול של f בנקודה a''' אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל סדרה <math>(x_n)</math> המקיימת את שני התנאים הבאים:*שואפת ל- <math>\forall n:x_n\neq a</math>*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=aL</math> (כאשר זהו שוב, גבול של סדרות).

מתקיים כי הסדרה <math>f(x_n)</math> שואפת ל-L (שוב, גבול של סדרות). <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font> הוכח כי <math>\lim_{x\rightarrow x_0}ax^k=ax_0^k</math>

לכל סדרה <math>x_0\neq ne x_n\rightarrow to x_0</math> מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי  ::<math>ax^k=a\cdot x \cdots x\rightarrow to a\cdot x_0 \cdots x_0 = ax_oax_0^k</math>  '''מסקנה.''' קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים <math>\lim_{x\rightarrow x_0}p(x)=p(x_0)</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגילמסקנה.''' קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים <math>\lim\limits_{x\to x_0}p(x)=p(x_0)</fontmath>

הוכח כי לא קיים הגבול <mathfont size=4 color=#a7adcd>\lim_{x\rightarrow 0}sin(e^{\frac{1}{x}})'''תרגיל.'''</mathfont>

::<math>0\neq ne x_k,y_k\rightarrow to 0</math> כך ש::<math>\lim f(x_k)\neq \lim f(y_k)</math>

::<math>sin\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)=1</math> ::<math>sin\Bigleft(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Bigright)=-1</math> 

 ::<math>e^{\frac{1}{x_k}}=\frac{\pi}{2}+2\pi k</math> 

 ::<math>x_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math> 

::<math>y_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>ואז נקבל :<math>\lim f(x_k)=1\ne -1=\lim f(y_k)</math>

::<math>\lim flim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x_kx)}{x^2}=1\neq -frac{1 =\lim f(y_k)}{2}</math>

==גבולות ידועים==::<math>\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{sin\ln(1+x)}{x}=1</math>

'''הערה'''::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}</math>שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.

*<math>\lim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)</math>'''פתרון''':נבצע הצבה <math>y=\frac{1}{x}</math> ולכן זה בעצם שווה לגבול:<math>\lim_{x\rightarrow to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)=\lim_{y\to 0^+}\frac{ln\sin(1+xy)}{xy}=1</math>

::*<math>\lim_{x\rightarrow to 0}x\fracsin\left(\tfrac{1-cos(x)}{sin(x)}\right)</math>'''פתרון''': שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הנו <math>0</math>.

::הראנו בסרטון על הגדרת הגבול לפי סדרות (לעיל) כי גבול פונקציה זו קיים אך ורק בנקודה <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}\cdot\frac{x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x}\frac{x}{sin(x)}=0\cdot 1 = </math> וערכו שם הוא <math>0</math>.