שינויים

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, <math>x </math> יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font><math>L </math> נקרא '''הגבול של <math>f </math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f </math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a </math> וגם לכל <math>\epsilonvarepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל x המקיים <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-L\Big|<\epsilonvarepsilon</math>.

(הערההסבר ההגדרה: סביבה מנוקבת של a הינה סביבה של a שמוציאים ממנה את לכל מרחק על ציר <math>y</math> שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר <math>x</math> (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר <math>x</math> קרובות מספיק ל-<math>a</math> אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-<math>L</math> .)

הסבר ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>הוכח לפי ההגדרה: לכל מרחק על ציר y שנבחר כי <math>\lim\limits_{x\to2}\dfrac{(אפסילון) יש מרחק על ציר x +2)(דלתאx+4) כך שאם הנקודות על ציר }{x קרובות מספיק ל-a אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-L.+1}=8</math>

;פתרוןיהי <font size=4 color=#a7adcdmath>\varepsilon>'''תרגיל.''' 0</fontmath> הוכח לפי ההגדרה . צריך להוכיח כי קיים <math>\lim_{x\rightarrow 2}\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8delta>0</math> '''פתרון.'''יהי אפסילון גדול מאפס. צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס, כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים <math>\Bigleft|\fracdfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Bigright|<\epsilonvarepsilon</math>

::<math>\Big|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Big|=\Big|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x^2-2x}{x+1}\Big|=\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|</math>  אנו רואים כי כאשר x שואף ל-2 המונה שואף לאפס, והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי. כאשר <math>\delta<1</math>, עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:  ::<math>\Bigleft|\fracdfrac{x(x-2)}{x+1}\Bigright|<\fracdfrac{|x(x-2)|}{2}</math>  

 ::<math>\Bigleft|\fracdfrac{x(x-2)}{x+1}\Bigright|<\fracdfrac{3|x-2|}{2}<\frac{3}{2}dfrac32\delta</math>  לסיכום, קיים דלתא כך ש - <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\frac{2}{3}dfrac23\epsilonvarepsilon</math> עבורו מתקיים:  ::<math>\Bigleft|\fracdfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Bigright|<\frac{3}{2}dfrac32\delta=\epsilonvarepsilon</math> 

מתקיים כי הסדרה <font size=4 color=#3c498emath>'''הגדרה.''' </font>L נקרא '''הגבול של f בנקודה a''' אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל סדרה <math>(x_n)</math> המקיימת את שני התנאים הבאים:*שואפת ל- <math>\forall n:x_n\neq a</math>*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=aL</math> (כאשר זהו שוב, גבול של סדרות).

מתקיים כי הסדרה <math>f(x_n)</math> שואפת ל-L (שוב, גבול של סדרות). <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font> הוכח כי <math>\lim_{x\rightarrow x_0}ax^k=ax_0^k</math>

לכל סדרה <math>x_0\neq ne x_n\rightarrow to x_0</math> מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי  ::<math>ax^k=a\cdot x \cdots x\rightarrow to a\cdot x_0 \cdots x_0 = ax_oax_0^k</math>  '''מסקנה.''' קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים <math>\lim_{x\rightarrow x_0}p(x)=p(x_0)</math>

<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגילמסקנה.''' קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים <math>\lim\limits_{x\to x_0}p(x)=p(x_0)</fontmath>

הוכח כי לא קיים הגבול <mathfont size=4 color=#a7adcd>\lim_{x\rightarrow 0}sin(e^{\frac{1}{x}})'''תרגיל.'''</mathfont>

::<math>0\neq ne x_k,y_k\rightarrow to 0</math> כך ש::<math>\lim f(x_k)\neq \lim f(y_k)</math>

::<math>sin\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)=1</math> ::<math>sin\Bigleft(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Bigright)=-1</math> 

 ::<math>e^{\frac{1}{x_k}}=\frac{\pi}{2}+2\pi k</math> 

 ::<math>x_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math> 

::<math>y_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>  

 ::<math>\lim f(x_k)=1\neq ne -1 =\lim f(y_k)</math>

::<math>\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1</math>  ::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x}=0</math> 

::<math>\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}0</math>

::<math>\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1</math>

 *<math>\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}</math>'''פתרון'''::<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\frac{x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}\frac{x}{\sin(x)}=0\cdot 1=0</math>

'''הערה'''::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{sin(x)}\cdot\frac{x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(x)}{x}\frac{x}{sin(x)}=0\cdot 1 = 0</math>שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.

::*<math>\lim_{f(x)=\rightarrow 0}\fracbegin{5x^2+2xcases}{3x^3+2xx^2+& x}=\lim_{xin\rightarrow 0}Q \frac{x(5x+2)}{x(3x^2+2x+1)}=\lim_{0 & x\rightarrow 0}notin\Q\fracend{5x+2cases}{3x^2+2x+1}=2</math>

'''הערה''': שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוףהראנו בסרטון על הגדרת הגבול לפי סדרות (לעיל) כי גבול פונקציה זו קיים אך ורק בנקודה <math>0</math> וערכו שם הוא <math>0</math> .