שינויים

;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font><math>L</math> נקרא '''הגבול של <math>f</math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f</math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math> וגם לכל <math>\epsilonvarepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x</math> המקיים <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-L\Big|<\epsilonvarepsilon</math>.

(הערה: סביבה מנוקבת של <math>a</math> הנה סביבה של <math>a</math> שמוציאים ממנה את <math>a</math>.)

הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר <math>y</math> שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר <math>x</math> (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר <math>x</math> קרובות מספיק ל- <math>a</math> אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל- <math>L</math> .

;<font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font>הוכח לפי ההגדרה כי <math>\lim\limits_{x\to 2to2}\fracdfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8</math>

''';פתרון.'''יהי <math>\epsilonvarepsilon>0</math> . צריך להוכיח כי קיים <math>\delta>0</math> , כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים <math>\left|\fracdfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|<\epsilonvarepsilon</math>

  אנו רואים כי כאשר <math>x\to 2to2</math> המונה שואף לאפס, ל-0 והמכנה ל- <math>3</math> . נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על-ידי קבוע גדול מאפסמ-0, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.

:<math>\left|\fracdfrac{x(x-2)}{x+1}\right|<\fracdfrac{|x(x-2)|}{2}</math>

:<math>\left|\fracdfrac{x(x-2)}{x+1}\right|<\fracdfrac{3|x-2|}{2}<\frac{3}{2}dfrac32\delta</math>לסיכום, קיים דלתא כך ש- <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\frac{2}{3}dfrac23\epsilonvarepsilon</math> עבורו מתקיים::<math>\left|\fracdfrac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|<\frac{3}{2}dfrac32\delta=\epsilonvarepsilon</math>

מתקיים כי הסדרה <font size=4 color=#3c498emath>'''הגדרה.''' </font>L נקרא '''הגבול של f בנקודה a''' אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל סדרה <math>(x_n)</math> המקיימת את שני התנאים הבאים:*שואפת ל- <math>\forall n:x_n\neq a</math>*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=aL</math> (כאשר זהו שוב, גבול של סדרות).

מתקיים כי הסדרה <math>f(x_n)</math> שואפת ל-L (שוב, גבול של סדרות). <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font> הוכח כי <math>\lim_{x\rightarrow x_0}ax^k=ax_0^k</math>

לכל סדרה <math>x_0\neq ne x_n\rightarrow to x_0</math> מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי :<math>ax^k=a\cdot x\cdots x\to a\cdot x_0\cdots x_0=ax_0^k</math>

::'''מסקנה.''' קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים <math>ax^k=a\cdot x lim\cdots limits_{x\rightarrow a\cdot to x_0 \cdots }p(x)=p(x_0 = ax_o^k)</math>

'''מסקנה.''' קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים <math>\lim_{x\rightarrow x_0}p(x)=p(x_0)</math> <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font> הוכח כי לא קיים הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to 0}\sin(e^{\frac{1}{x}})</math> 

::<math>0\neq ne x_k,y_k\rightarrow to 0</math> כך ש::<math>\lim f(x_k)\neq \lim f(y_k)</math>

::<math>sin\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)=1</math> ::<math>sin\Bigleft(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Bigright)=-1</math> 

 ::<math>e^{\frac{1}{x_k}}=\frac{\pi}{2}+2\pi k</math> 

 ::<math>x_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math> 

::<math>y_k=\frac{1}{\ln\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)}</math>  

 ::<math>\lim f(x_k)=1\neq ne -1 =\lim f(y_k)</math>

::<math>\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1</math>

::<math>\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}=0\frac{1}{2}</math>

 ::<math>\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{1-cos(x)}{x^2}=\frac{1}{2}</math>  ::<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1</math>

 *<math>\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}</math>  

 ::<math>\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\frac{x}{x} = \lim_{x\rightarrow to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}\frac{x}{\sin(x)}=0\cdot 1 = 0</math>   *<math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}</math>

 ::<math>\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}=\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{x(5x+2)}{x(3x^2+2x+1)}=\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{5x+2}{3x^2+2x+1}=2</math>

*<math>\lim_{x\rightarrow to\infty}xsinx\sin\Bigleft(\tfrac{1}{x}\right)</math>'''פתרון''': נבצע הצבה <math>y=\frac{1}{x}</math> ולכן זה בעצם שווה לגבול:<math>\Biglim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)=\lim_{y\to 0^+}\frac{\sin(y)}{y}=1</math>

'''פתרון''': נבצע הצבה <math>y=\frac{1}{x}</math> ולכן זה בעצם שווה לגבול ::*<math>\lim_{x\rightarrow \inftyto 0}xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)=\lim_{y\rightarrow 0^+}\frac{1}{y}sin(y) = 1</math>  *<math>\lim_{x\rightarrow 0}xsin\Bigleft(\fractfrac{1}{x}\Bigright)</math> '''פתרון''': שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הינו אפסהנו <math>0</math> .

*<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & x\in\mathbb{Q}\\ 0 & x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math>

הראנו בסרטון על הגדרת הגבול לפי סדרות (לעיל) כי גבול פונקציה זו קיים אך ורק בנקודה אפס <math>0</math> וערכו שם הוא אפס<math>0</math> .