שינויים
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות|חזרה לפונקציות]]
כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, <math>x </math> יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.
==גבול פונקציה לפי קושי==
<videoflash>Jp5FqgylIak</videoflash>
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font><math>L </math> נקרא '''הגבול של <math>f </math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f </math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a </math> וגם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x </math> המקיים <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-L\Big|<\epsilon</math>
(הערה: סביבה מנוקבת של <math>a</math> הנה סביבה של <math>a</math> שמוציאים ממנה את <math>a</math>.)
'''פתרון.'''
יהי אפסילון גדול מאפס<math>\epsilon>0</math> . צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס<math>\delta>0</math> , כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים <math>\Bigleft|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Bigright|<\epsilon</math>
נפתח את הביטוי:
אנו רואים כי כאשר <math>x שואף ל-\to 2 </math> המונה שואף לאפס, והמכנה ל-<math>3</math> . נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על -ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי. כאשר <math>\delta<1</math>, עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן: ::<math>\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|<\frac{|x(x-2)|}{2}</math>
כאשר <math>\delta<1</math> , עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:
:<math>\left|\frac{x(x-2)}{x+1}\right|<\frac{|x(x-2)|}{2}</math>
כמו כן, מתקיים <math>x<3</math> ולכן:
==גבול פונקציה לפי היינה==
<videoflash>wb7n_n5F8iU</videoflash>