שינויים

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, <math>x </math> יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font><math>L </math> נקרא '''הגבול של <math>f </math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f </math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a </math> וגם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x </math> המקיים <math>0<|x-a|<\delta</math> מתקיים <math>\Big|f(x)-L\Big|<\epsilon</math>

(הערההסבר ההגדרה: סביבה מנוקבת של a הינה סביבה של a שמוציאים ממנה את לכל מרחק על ציר <math>y</math> שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר <math>x</math> (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר <math>x</math> קרובות מספיק ל- <math>a</math> אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל- <math>L</math> .)

הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר y שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר x (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר x קרובות מספיק ל-a אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-L.  <font size=4 color=#a7adcd>'''תרגיל.''' </font> הוכח לפי ההגדרה כי <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to 2}\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}=8</math>

יהי אפסילון גדול מאפס<math>\epsilon>0</math> . צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס<math>\delta>0</math> , כך שאם <math>0<|x-2|<\delta</math> אזי מתקיים <math>\Bigleft|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Bigright|<\epsilon</math>

::<math>\Bigleft|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Bigright|=\Bigleft|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\Bigright|=\Bigleft|\frac{x^2-2x}{x+1}\Bigright|=\Bigleft|\frac{x(x-2)}{x+1}\Bigright|</math>

אנו רואים כי כאשר <math>x שואף ל-\to 2 </math> המונה שואף לאפס, והמכנה ל-<math>3</math> . נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על -ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי. כאשר <math>\delta<1</math>, עבור <math>0<|x-2|<\delta<1</math> מתקיים <math>2<x+1</math> ולכן:  ::<math>\Big|\frac{x(x-2)}{x+1}\Big|<\frac{|x(x-2)|}{2}</math> 

 ::<math>\Bigleft|\frac{x(x-2)}{x+1}\Bigright|<\frac{3|x-2|}{2}<\frac{3}{2}\delta</math>  לסיכום, קיים דלתא כך ש - <math>\delta<1</math> וגם <math>\delta<\frac{2}{3}\epsilon</math> עבורו מתקיים:  ::<math>\Bigleft|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\Bigright|<\frac{3}{2}\delta=\epsilon</math>