שינויים
נפתח את הביטוי:
:<math>\left|\frac{(x+2)(x+4)}{x+1}-8\right|=\left|\frac{x^2+6x+8-8x-8}{x+1}\right|=\left|\frac{x^2-2x}{x+1}\right|=\left|\frac{x(x-2)}{x+1}\right|</math>
אנו רואים כי כאשר <math>x\to 2</math> המונה שואף לאפס, והמכנה ל- <math>3</math> . נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על-ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.
בהגדרת קושי לגבול פונקציה הכללנו את הרעיון של גבול של סדרה, אך לא השתמשנו בו. בהגדרת הגבול לפי היינה נסתמך על הגדרת הגבול של סדרה.
<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>
<math>L</math> נקרא '''הגבול של <math>f</math> בנקודה <math>a</math>''' אם <math>f</math> מוגדרת בסביבה מנוקבת של <math>a</math> וגם לכל סדרה <math>x_n</math> המקיימת את שני התנאים הבאים:
*<math>\forall n:x_n\ne a</math>
*<math>\lim_{n\to\infty}x_n=a</math> (כאשר זהו גבול של סדרות)
מתקיים כי הסדרה <font size=4 color=#3c498emath>'''הגדרה.''' </font>L נקרא '''הגבול של f בנקודה a''' אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל סדרה <math>(x_n)</math> המקיימת את שני התנאים הבאים:*שואפת ל- <math>\forall n:x_n\neq a</math>*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=aL</math> (כאשר זהו שוב, גבול של סדרות).
הוכח כי <math>\lim\limits_{x\to x_0}ax^k=ax_0^k</math>
'''פתרון.'''
לכל סדרה <math>x_0\neq ne x_n\rightarrow to x_0</math> מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי ::<math>ax^k=a\cdot x \cdots x\rightarrow to a\cdot x_0 \cdots x_0 = ax_oax_0^k</math> '''מסקנה.''' קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים <math>\lim_{x\rightarrow x_0}p(x)=p(x_0)</math>
הוכח כי לא קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to 0}\sin(e^{\frac{1}{x}})</math>
'''הוכחה.''' נראה כי קיימות סדרות
כך ש-
:<math>\lim f(x_k)\ne\lim f(y_k)</math>
נזכר בעובדה שלכל מספר שלם k מתקיים:
:<math>\sin\Big(\frac{3\pi}{2}+2\pi k\Big)=-1</math>
נרצה סדרה המקיימת
ולכן ניקח
באופן דומה ניקח
ואז נקבל
==גבולות ידועים==
:<math>\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0</math>
==דוגמאות==
חשב את הגבולות הבאים:
*<math>\lim_{x\rightarrow to 0}\frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}</math>
'''פתרון''':
*<math>\lim_{x\to 0}\frac{5x^2+2x}{3x^3+2x^2+x}</math>
'''פתרון''':
'''הערה''': שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.
*<math>\lim_{x\rightarrow to\infty}xsinx\sin\Bigleft(\tfrac{1}{x}\right)</math>'''פתרון''': נבצע הצבה <math>y=\frac{1}{x}</math> ולכן זה בעצם שווה לגבול:<math>\Biglim_{x\to\infty}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)=\lim_{y\to 0^+}\frac{\sin(y)}{y}=1</math>
*<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & x\in\mathbb{Q}\\ 0 & x\notin\mathbb{Q}\end{cases}</math>
הראנו בסרטון על הגדרת הגבול לפי סדרות (לעיל) כי גבול פונקציה זו קיים אך ורק בנקודה אפס <math>0</math> וערכו שם הוא אפס<math>0</math> .
