הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏סעיף א')
(←‏סעיף א')
שורה 14: שורה 14:
 
=== סעיף א'===
 
=== סעיף א'===
 
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן  
 
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן  
−
<math>А(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta} f(t)dt</math>. נתון ש-f חסומה, נגיד  
+
 
−
<math>|f(x)| \leq M </math>. לכן מתקיים
+
<math>А(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta} f(t)dt</math>.
−
<math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>. כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
+
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>.  
 +
 
 +
לכן מתקיים<math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>.
 +
 
 +
כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
 
לכן:
 
לכן:
 
<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> נובע ש:
 
<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> נובע ש:
 +
 
<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
 
<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
 
<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.
 
<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.
  
 
<math>\blacksquare </math>
 
<math>\blacksquare </math>

גרסה מ־20:53, 27 במרץ 2012

המשפט

תהי f(x) מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-[a,b]. נגדיר גם: \forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt . אזי מתקיים:

א) A(x) רציפה.

ב)לכל x_{0} \in [a,b] שבו f(x_{0}) רציפה, A(x) גזירה ו- A'(x_{0})=f(x_{0}).

ג) אם f(x) רציפה בכל [a,b], ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a).

הוכחה

סעיף א'

נקח x \in [a,b] כלשהו ו-\Delta x "קטן" כך ש-x+\Delta x \in [a,b]. לפי הגדרה:A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt ולכן

А(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta} f(t)dt. 

נתון ש-f חסומה, נגיד |f(x)| \leq M .

לכן מתקיים|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|. 

כעת נשאיף את \Delta x \to 0, אגף ימין שואף ל-0 .

לכן: \lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0 נובע ש:

\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0 ולכן מתקיים תנאי הרציפות, \lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x).

\blacksquare

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=המשפט_היסודי_של_החשבון_האינטגרלי&oldid=21046