הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"

מתוך Math-Wiki

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גרסה מ־20:55, 27 במרץ 2012

תוכן עניינים

1 המשפט
2 הוכחה
- 2.1 סעיף א'
- 2.2 סעיף ב'

המשפט

תהי $f(x)$ מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב- $[a,b]$ . נגדיר גם: $\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt$ . אזי מתקיים:

א) $A(x)$ רציפה.

ב)לכל $x_{0} \in [a,b]$ שבו $f(x_{0})$ רציפה, $A(x)$ גזירה ו- $A'(x_{0})=f(x_{0})$ .

ג) אם $f(x)$ רציפה בכל $[a,b]$ , ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: $\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)$ .

הוכחה

סעיף א'

נקח $x \in [a,b]$ כלשהו ו- $\Delta x$ "קטן" כך ש- $x+\Delta x \in [a,b]$ . לפי הגדרה: $A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt$ ולכן

$А(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta} f(t)dt$ . נתון ש-f חסומה, נגיד $|f(x)| \leq M$ .

לכן מתקיים $|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|$ .

כעת נשאיף את $\Delta x \to 0$ , אגף ימין שואף ל-0 . לכן:

$\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0$ ומכך נובע ש:

$\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0$ ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

$\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)$ .

$\blacksquare$

סעיף ב'

שלום

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=המשפט_היסודי_של_החשבון_האינטגרלי&oldid=21049