הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
מתוך Math-Wiki
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
||
שורה 33: | שורה 33: | ||
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח: | בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח: | ||
− | <math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math> | + | <math>\frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0})</math> |
+ | <u>טענה:<\u> נוכיח כי <math>lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=0</math> . |
גרסה מ־11:11, 28 במרץ 2012
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-. נגדיר גם: . אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו רציפה, גזירה ו- .
ג) אם רציפה בכל , ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: .
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו- "קטן" כך ש-. לפי הגדרה: ולכן
. נתון ש-f חסומה, נגיד .
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 . לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי קיימת ושווה ל- . נחזור לפונקציה . בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר , מתקיים בהכרח:
טענה:<\u> נוכיח כי .