שינויים
[[קטגוריה:אינפי]]
== המשפט ==תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}displaystyle\int\limits_a^{x} f(t)dt</math> . אזי מתקיים:
א) <math>A(x)</math> רציפה.
ב)לכל <math>x_{0} x_0\in [a,b]</math> שבו <math>f(x_{0}x_0)</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_{0}x_0)=f(x_{0}x_0)</math>.
ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו-<math>F </math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\int_{a}displaystyle\int\limits_a^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.
== הוכחה ==
=== סעיף א'===
נקח <math>x \in [a,b]</math> כלשהו ו-<math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x \in [a,b]</math>. לפי הגדרה:<math>A(x+\Delta x)=\int_{a}displaystyle\int\limits_a^{x+\Delta x} f(t)dt </math> ולכן
<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x} f(t)dt</math>.נתון ש-<math>f </math> חסומה, נגיד <math>f(x) \leq le M </math>.
לכן מתקיים <math>\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=\Bigg|\int_{x}displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x} f(t)dt\Bigg| \leq le M|\Delta x|</math>.
כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=0</math> ומכך נובע ש:
<math>\lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0</math> ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
<math>\lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x)</math>.
<math>\blacksquare </math>
=== סעיף ב'===
כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_{0} x_0\in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_{0}x_0)</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_{0}x_0)</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt</math>.בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x \to 0</math> , מתקיים בהכרח:
<math>\frac{A(x_{0}x_0+\Delta x)-A(x_{0}x_0)}{\Delta x}=\frac{1}frac1{\Delta x} \int_{x_displaystyle\int\limits_{0}x_0}^{x_{0}x_0+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0}x_0)</math>
'''טענה:''' נוכיח כי <math>\lim_lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{1}Bigg[\frac1{\Delta x} \int_displaystyle\int\limits_{x_{0}x_0}^{x_{0}x_0+\Delta x}f(t)dt\Bigg]=f(x_{0}x_0)</math> .
נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: <math>\int_int\limits_{x_{0}x_0}^{x_{0}x_0+\Delta x} f(x_{0}x_0)dt=f(x_{0}x_0) \Delta x </math>ולכן ולכן <math>\frac{1}frac1{\Delta x} \int_{x_displaystyle\int\limits_{0}x_0}^{x_{0}x_0+\Delta x} f(x_{0}x_0)=f(x_{0}x_0)</math>.
כעת נראה כי הביטוי מתאפס: <math>\lim_lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{1}Bigg[\frac1{\Delta x} \int_displaystyle\int\limits_{x_{0}x_0}^{x_{0}x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_{0}x_0)]dt\Bigg]=0</math>
יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון כיון ש-<math>f </math> רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|t-x_{0}x_0|< \delta</math> אז <math>\Big|f(t)-f(x_{0}x_0)\Big|< \epsilon</math>.כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>|t-x_{0}x_0| \leq le |\Delta x|< \delta </math> כך ש-<math>\Big|f(t)-f(x_{0}x_0)\Big|< \epsilon</math>.
מכאן ש-<math>\Bigg|\int_displaystyle\int\limits_{x_{0}x_0}^{x_{0}x_0+\Delta x} [f(t)-f(x_{0}x_0)]dt\Bigg| \leq le \int_displaystyle\int\limits_{x_{0}x_0}^{x_{0}x_0+\Delta x} \Big|f(t)-f(x_{0}x_0)\Big|dt<\int_displaystyle\int\limits_{x_{0}x_0}^{x_{0}x_0+\Delta x} \epsilon \cdot dt</math>
אבל <math>\int_displaystyle\int\limits_{x_{0}x_0}^{x_{0}x_0+\Delta x} \epsilon \cdot dt=|\Delta x| \epsilon</math> ולכן
<math>\Bigg|\frac{1}frac1{\Delta x} \int_{x_displaystyle\int\limits_{0}x_0}^{x_{0}x_0+\Delta x} [f(t)-f(x_{0}x_0)]dt\Bigg| < \frac{1}frac1{|\Delta x|} \cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon </math>.
ולכן הגבול אכן שואף ל-<math>0</math>, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0}x_0)</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0}x_0)</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0}x_0)=f(x_{0}x_0)</math>.
<math>\blacksquare</math>
===סעיף ג' ===
ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+C</math> עבור <math>C</math> כלשהו.
<math>=\int_{a}displaystyle\int\limits_a^{b} f(x)dx-0=\int_{a}displaystyle\int\limits_a^{b} f(x)dx</math>
ולכן בסך הכל :<math>\int_{a}displaystyle\int\limits_a^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.
<math>\blacksquare</math>
