שינויים

תהי <math>f(x)</math> מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. נגדיר גם: <math>\forall x\in [a,b]: A(x):= \displaystyle\int\limits_a^x f(t)dt</math> . אזי מתקיים:

ב) לכל <math>x_0\in [a,b]</math> שבו <math>f(x_0)</math> רציפה, <math>A(x)</math> גזירה ו- <math>A'(x_0)=f(x_0)</math>.

ג) אם <math>f(x)</math> רציפה בכל <math>[a,b]</math>, ו- <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: <math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.

נקח <math>x\in [a,b]</math> כלשהו ו- <math>\Delta x</math> "קטן" כך ש-<math>x+\Delta x\in [a,b]</math>. לפי הגדרה: <math>A(x+\Delta x)=\displaystyle\int\limits_a^{x+\Delta x}f(t)dt</math> ולכן

<math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x} f(t)dt</math>. נתון ש- <math>f</math> חסומה, נגיד <math>f(x)\le M </math>.

לכן מתקיים <math>\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=\Bigg|\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt\Bigg|\le M|\Delta x|</math>.

כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 .

<math>\lim_{\Delta x\to 0}A(x+\Delta x)=A(x)</math>.

כאן מניחים ש- <math>f(t)</math> רציפה בנקודה <math>x_0\in [a,b]</math> כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי <math>A'(x_0)</math> קיימת ושווה ל- <math>f(x_0)</math>. נחזור לפונקציה <math>A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt</math>. בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר <math>\Delta x\to 0</math> , מתקיים בהכרח:

<math>\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt \to f(x_0)</math>

<math>\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)</math>.

יהי <math>\epsilon >0</math>. כיון ש- <math>f</math> רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|t-x_0|< \delta</math> אז <math>\Big|f(t)-f(x_0)\Big|< \epsilon</math>. כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>|t-x_0|\le |\Delta x|< \delta </math> כך ש-<math>\Big|f(t)-f(x_0)\Big|< \epsilon</math>.

מכאן ש- <math>\Bigg|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg|\le \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big|f(t)-f(x_0)\Big|dt< \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt</math>

אבל <math>\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt=|\Delta x| \epsilon</math> ולכן

<math>\Bigg|\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg| < \frac1frac{1}{|\Delta x|}\cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon </math>.

ולכן הגבול אכן שואף ל- <math>0</math>, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל- <math>f(x_0)</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל- <math>f(x_0)</math>, מכאן נובע <math>A'(x_0)=f(x_0)</math>.

ידוע כי <math>f</math> רציפה על כל <math>[a,b]</math>, ולכן ע"פ סעיף ב', <math>A(x)</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>. נתון גם כי <math>F</math> פונקציה קדומה של <math>f</math>, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים <math>F(x)=A(x)+C</math> עבור <math>C</math> כלשהו.

לכן: <math>F(b)-F(a)=[A(b)+C]-[A(a)+C]=A(b)-A(a)=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx - \displaystyle\int\limits_a^a f(x)dx=</math>

<math>=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-0 = \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx</math>

ולכן בסך הכל :<math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)</math>.