התכנסות במ"ש

הגדרה

עד כה הגדרנו התכנסות נקודתית של סדרת וטור פונקציות לפונקצית הגבול. ניתן לנסח התכנסות סדרת פונקציות נקודתית בכלל הלוגי הבא:

$\forall x_0\in D\forall \epsilon >0 \exists N_{x_0,\epsilon}\forall n>N_{x_0,\epsilon}:|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon$

כאשר D הוא תחום ההגדרה של פונקצית הגבול.

אנו אומרים כי סדרת הפונקציות מתכנסת במידה שווה (במ"ש) בתחום $A\subseteq D$ אם קיים $N_\epsilon$ המתאים לכל $x\in A$. כלומר מתקיים התנאי הלוגי הבא:

$\forall \epsilon >0\exists N_\epsilon\forall n>N_\epsilon \forall x\in A:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$

ניתן גם לומר שסדרת פונקציות מתכנסת במידה שווה אם לכל אפסילון קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל הפונקציות נמצאות בין פונקצית הגבול פחות אפסילון לפונקצית הגבול ועוד אפסילון.