==פרק 6 - חקירה==
==משפטי חקירת פונקציות===
*משפט ערך הביניים.
*תהי f רציפה ב<math>[0,1]</math> כך ש<math>f(1)=2</math>, הוכיחו שקיימת נק' <math>c\in [0,1]</math> עבורה <math>f(c)=\frac{1}{c}</math>
**נעביר אגף ונביט בפונקציה <math>h(x)=f(x)-\frac{1}{x}</math> שצריך למצוא שורש שלה.
**<math>h(1)>0</math>.
**<math>\lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty</math> ולכן קיימת נקודה <math>0<d<1</math> עבורה <math>h(d)<0</math>.
**לפי משפט ערך הביניים בקטע <math>[d,1]</math> קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.
*משפטי ויירשטראס.
**פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
**פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.
*משפט פרמה.
**אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
**ההפך אינו נכון.
*משפט רול.
**פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בקטע הפתוח.
**לפולינום יש לכל היותר n שורשים שונים.
*משפט לגראנז'.
**פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח מקבלת את השיפוע בין שתי נקודות הקצה בנגזרת בנק' כלשהי.
*משפט לגראנז' המוכלל.
**שתי פונקציות רציפות בקטע סגור, גזירות בקטע הפתוח, והנגזרת של האחת אינה מתאפסת. אזי מנת הנגזרות שווה למנת השיפועים בנק' מסויימת.
*הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
**ראשית, כיוון ש<math>g'(x)\neq 0</math> בקטע <math>(a,b)</math> נובע לפי רול כי <math>g(a)\neq g(b)</math> ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
**<math>h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))</math>
**<math>h(a)=h(b)=0</math> ולכן לפי רול קיימת נק' <math>c\in (a,b)</math> עבורה <math>h'(c)=0</math> וזה מה שרצינו להוכיח.
**(שימו לב שמותר לחלק ב<math>g'(c)</math>.)
**עבור <math>g(x)=x</math> נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.
===קשר בין הנגזרת לפונקציה===
*פונקציה גזירה עולה אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס.
*פונקציה עולה ממש אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס, ולא מתאפסת על קטע.
===כלל לופיטל===
*כלל לופיטל (הוכחה לאפס חלקי אפס בנקודה סופית).
*כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.