חדוא 1 - ארז שיינר

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

88-132 חשבון אינפיניטיסימלי 1

תוכן עניינים

מבחנים ופתרונות

מבחנים של מתמטיקה


מבחנים של מדמ"ח

מבחנים של הנדסה

מבחנים של אנליזה למורים


מבחנים מאוניברסיטאות שונות

סרטוני ותקציר ההרצאות

פלייליסט של כל הסרטונים


פלייליסט ההרצאות של אינפי 1 למדמח תשפ"א


פרק 1 - מספרים וחסמים

קבוצות מספרים

  • הטבעיים \mathbb{N}=\{1,2,3,...\}
  • השלמים \mathbb{Z}=\{0,-1,1,-2,2,...\}
  • הרציונאליים \mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{n}|p\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}
  • הממשיים \mathbb{R}, כל השברים העשרוניים כולל האינסופיים




  • לא קיים x\in\mathbb{Q} כך ש x^2=2.
  • במילים פשוטות, \sqrt{2} אינו רציונאלי (בהמשך נוכיח שיש מספר ממשי כזה).



חזקות ולוגריתמים

  • לכל מספר ממשי x\in\mathbb{R} ולכל מספר טבעי n\in\mathbb{N} נגדיר x^n=x\cdots x כפל n פעמים
  • לכל מספר ממשי אי שלילי 0\leq x\in\mathbb{R} ולכל מספר טבעי n\in\mathbb{N} נגדיר x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x} כלומר המספר האי שלילי שבחזקת n שווה לx.
  • לכל מספר ממשי אי שלילי 0\leq x\in\mathbb{R} ולכל זוג מספרים טבעיים n,k\in\mathbb{N} נגדיר x^{\frac{n}{k}}=\sqrt[k]{x^n}
  • לכל מספר ממשי x\in\mathbb{R} נגדיר x^0=1


  • מה לגבי חזקות ממשיות אי רציונליות?
  • נגדיר אותן באמצעות גבול של חזקות רציונאליות


  • לכל מספר ממשי x\in\mathbb{R} ולכל חזקה ממשית שלילית -a<0 נגדיר x^{-a}=\frac{1}{x^a}



  • לכל 0<a\neq 1 נגדיר את log_a(x) להיות המספר שa בחזקתו שווה לx.
  • חוקי לוגים:
    • log_a(x)+log_a(y)=log_a(xy)
    • log_a(x)-log_a(y)=log_a\left(\frac{x}{y}\right)
    • log_a(x^y)=y log_a(x)
    • \log_a(x)=\frac{log_b(x)}{log_b(a)}
    • log_a(x)=y אם ורק אם x=a^y

חסמים

  • תהי A\subseteq \mathbb{R} אזי:
    • M\in\mathbb{A} נקרא המקסימום של A או האיבר הגדול ביותר של A אם לכל a\in A מתקיים כי a\leq M
    • M\in\mathbb{R} נקרא חסם מלעיל של A אם לכל a\in A מתקיים כי a\leq M
    • m\in\mathbb{A} נקרא המינימום של A או האיבר הקטן ביותר של A אם לכל a\in A מתקיים כי a\geq m
    • m\in\mathbb{R} נקרא חסם מלרע של A אם לכל a\in A מתקיים כי a\geq m


  • כמו כן:
    • אם יש איבר קטן ביותר בקבוצת חסמי המלעיל של A הוא נקרא החסם העליון של A, או הסופרמום של A ומסומן \sup(A)
    • אם יש איבר גדול ביותר בקבוצת חסמי המלרע של A הוא נקרא החסם התחתון של A, או האינפימום של A ומסומן \inf(A)



  • בשדה הממשיים לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון, ולכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלרע יש חסם תחתון.
  • בשדה הרציונאליים זה לא נכון; לקבוצה A=\{x\in\mathbb{Q}|x^2<2\} אין מספר רציונאלי קטן ביותר מבין חסמי המלעיל שלה.



  • תהי A\subseteq \mathbb{R} ויהי M\in\mathbb{R} אזי:
    • M הוא החסם העליון של A אם ורק אם M הוא חסם מלעיל של A ולכל מספר M-\varepsilon<M קיים מספר a\in A כך ש a>M-\varepsilon
    • m הוא החסם התחתון של A אם ורק אם m הוא חסם מלרע של A ולכל מספר m<m+\varepsilon קיים מספר a\in A כך ש a<m+\varepsilon


  • דוגמא: תהיינה \emptyset\neq A,B\subseteq\mathbb{R} חסומות מלעיל כך שA אינה מכילה חסמי מלעיל של B, אזי \sup(A)\leq\sup(B)



שיטות הוכחה בסיסיות

  • הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'


פרק 2 - סדרות

הגדרת הגבול

  • הגדרת הגבול של סדרה:
  • תהי סדרה ממשית a_n ויהי מספר ממשי L\in\mathbb{R}.
  • L הינו גבול הסדרה a_n (מסומן \lim a_n=L או a_n\to L) אם:
    • לכל סביבה של הגבול, קיים מקום בסדרה שאחריו כל איברי הסדרה נמצאים בסביבה הנתונה, כלומר:
    • לכל מרחק \varepsilon>0 קיים מקום K\in\mathbb{N} כך שאחריו לכל n>K מתקיים כי |a_n-L|<\varepsilon



  • נגדיר שa_n\to\infty אם לכל M>0 קיים K\in\mathbb{N} כך שלכל n>K מתקיים כי a_n>M
  • נגדיר שa_n\to -\infty אם -a_n\to\infty


  • טענה: תהי a_n\to \infty אזי \frac{1}{a_n}\to 0
  • טענה: תהי 0\neq a_n\to 0 אזי \frac{1}{|a_n|}\to\infty



  • אם a_n\to L_1 וכן a_n\to L_2 אזי L_1=L_2



  • סדרה המתכנסת לגבול סופי חסומה.



  • a_n\to L \iff a_{n+1}\to L
  • בפרט, כל שינוי, תוספת או החסרה של מספר סופי של איברים לא משפיע על גבול הסדרה.



  • תהי סדרהa_n המתכנסת לגבול סופי והמקיימת לכל n כי a<a_n אזי \lim a_n\geq a

שאיפה לאפס

  • תהי סדרה a_n ויהי L\in\mathbb{R} אזי a_n\to L אם ורק אם |a_n-L|\to 0
    • בפרט a_n\to 0 אם ורק אם |a_n|\to 0


  • תהי a_n\to 0 ותהי b_n חסומה, אזי a_nb_n\to 0


  • תהיינה a_n,b_n\to 0 אזי גם a_n+b_n\to 0


משפטי סנדביץ'

  • משפט הסנדביץ' -
    • תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי a_n\leq b_n \leq c_n
    • כמו כן, יהי L\in\mathbb{R} כך ש a_n,c_n\to L
    • אזי b_n\to L
  • חצי סנדביץ'-
    • תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי a_n\leq b_n
    • כמו כן נתון כי a_n\to\infty
    • אזי b_n\to \infty
  • חצי סנדביץ' על הרצפה -
    • תהיינה סדרות המקיימות לכל n כי |a_n|\leq b_n
    • כמו כן נתון כי b_n\to 0
    • אזי a_n\to 0


מבוא לחשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)

  • תהיינה b_n\to L_b\in \mathbb{R}, a_n\to L_a\in \mathbb{R} אזי
    • a_n+b_n\to L_a+L_b
    • a_n\cdot b_n \to L_a\cdot L_b
    • אם L_b\neq 0 אזי \frac{a_n}{b_n}\to\frac{L_a}{L_b}



אינדוקציה

  • משפט האינדוקציה המתמטית
  • תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
    • הטענה הראשונה נכונה.
    • לכל n\in \mathbb{N} אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
  • אזי כל הטענות בסדרה נכונות


  • אי שיוויון ברנולי: יהי -1<x\in\mathbb{R} אזי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים כי (1+x)^n\geq 1+nx



חזקת אינסוף

  • תהי 0<a_n\to a אזי:
    • אם a>1 מתקיים כי (a_n)^n \to \infty
    • אם a<1 מתקיים כי (a_n)^n\to 0
  • שימו לב כי ייתכן ו1<a_n\to 1, כלומר איברי הסדרה גדולים מ1 אך גבולה הוא 1 ואז המשפט אינו תקף.


כלל המנה

  • כלל המנה (הוכחה בסיכום הבא על אי-שוויון הממוצעים).
    • תהי סדרה a_n המקיימת כי גבול המנה הוא \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to L אזי:
      • אם 1<L\leq\infty מתקיים כי |a_n|\to\infty
      • אם 0\leq L<1 מתקיים כי a_n\to 0
      • מתקיים כי \sqrt[n]{|a_n|}\to L


  • דוגמאות:
    • \frac{n}{2^n}\to 0
    • \sqrt[n]{n}\to 1
    • עבור a>0 מתקיים \sqrt[n]{a}\to 1
    • \sqrt[n]{n!}\to \infty


חזקות של גבולות

  • יהי 0<a\in\mathbb{R} ותהי b_n\to 0 אזי a^{b_n}\to 1
    • רעיון הוכחה: אם a\geq 1 אזי a^{-\frac{1}{m}}\leq a^{b_n}\leq a^{\frac{1}{m}} והרי \sqrt[m]{a}\to 1 לפי כלל המנה


  • יהי 0<a\in\mathbb{R} ותהי b_n\to L\in \mathbb{R} אזי a^{b_n}\to a^L
    • רעיון הוכחה: a^{b_n} = a^{b_n-L}\cdot a^L\to 1\cdot a^L


  • תהי a_n\to 1 ותהי b_n\to L\in\mathbb{R} אזי a_n^{b_n}\to 1
    • רעיון הוכחה:a_n^{[L]-1}\leq a_n^{b_n}\leq a_n^{[L]+1} לפי חשבון גבולות (כפל) שני הצדדים שואפים ל1. (אם a_n<1 אי השיוויון הפוך).


  • תהי a_n\to a>0 ותהי b_n\to L\in\mathbb{R} אזי a_n^{b_n}\to a^L
    • רעיון הוכחה: a_n^{b_n}=\left(\frac{a_n}{a}\right)^{b_n} \cdot a^{b_n} \to 1\cdot a^L


  • תהי 0\leq a_n\to 0 ותהי b_n\to L>0 אזי a_n^{b_n}\to 0
    • רעיון הוכחה: החל משלב מסויים 0\leq a_n^{b_n}\leq \frac{1}{m^{\frac{L}{2}}}



סדרות מונוטוניות והמספר e

  • כל סדרה מונוטונית הינה חסומה מתכנסת לגבול סופי, או שאינה חסומה ושואפת לגבול אינסופי.
  • דוגמא: נביט בסדרה a_1>0,\ a_{n+1}=a_n^2+a_n
    • כיוון ש a_{n+1}-a_n=a_n^2\geq 0 מדובר בסדרה מונוטונית עולה.
    • אם הסדרה חסומה:
      • קיים לה גבול סופי a_n\to L
      • נחשב את גבול שני צידי המשוואה a_{n+1}=a_n^2+a_n
      • לכן L=L^2+L ולכן L=0
      • אבל הסדרה עולה וחסומה מלמטה ע"י האיבר הראשון ולכן L\geq a_1
      • כלומר L=0<a_1\leq L בסתירה.
    • מכאן הסדרה אינה חסומה, וכיוון שהיא עולה a_n\to\infty





  • 2<e<4.


תתי סדרות וגבולות חלקיים

הגדרת גבול חלקי

  • לכל סדרת מקומות k_n\in\mathbb{N} המקיימת לכל n כי k_n<k_{n+1} נגדיר כי a_{k_n} הינה תת סדרה של הסדרה a_n
  • שימו לב כי מקומות תת הסדרה הם באותו הסדר כמו בסדרה המקורית, ואסור לחזור על איבר פעמיים.


  • לדוגמא:
    • נביט בסדרה a_n=(-1)^n
    • אזי a_{2n}=(-1)^{2n}=1 היא תת הסדרה של האיברים במקומות הזוגיים k_n=2n


  • נגדיר שL הוא גבול חלקי של הסדרה a_n אם קיימת תת סדרה a_{k_n} כך ש a_{k_n}\to L


  • טענה - יהי L סופי או אינסופי, אזי:
    • a_n\to L אם ורק אם לכל תת סדרה a_{k_n} מתקיים כי a_{k_n}\to L



משפט בולצאנו-ויירשטראס

  • לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.


  • משפט בולצאנו-ויירשטראס - לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת.


גבול עליון וגבול תחתון

  • תהי סדרה a_n
  • נגדיר את הגבול העליון שלה (limsup):
    • אם a_n אינה חסומה מלעיל אזי \overline{\lim}a_n=\infty
    • אם a_n חסומה מלעיל ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את \overline{\lim}a_n להיות החסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
    • אחרת, נגדיר \overline{\lim}a_n=-\infty
  • נגדיר את הגבול התחתון שלה (liminf):
    • אם a_n אינה חסומה מלרע אזי \underline{\lim}a_n=-\infty
    • אם a_n חסומה מלרע ויש לה גבול חלקי סופי כלשהו, נגדיר את \underline{\lim}a_n להיות החסם התחתון של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה
    • אחרת, נגדיר \underline{\lim}a_n=\infty


  • לכל גבול חלקי L של הסדרה מתקיים כי:
  • \underline{\lim}a_n\leq L\leq \overline{\lim}a_n



  • הגבול העליון והגבול התחתון הם גבולות חלקיים (כלומר יש תת סדרה ששואפת לגבול העליון, ויש תת סדרה ששואפת לגבול התחתון).



  • לכל -\infty\leq L\leq \infty מתקיים כי a_n \to L אם ורק אם \underline{\lim}a_n=\overline{\lim}a_n=L



תתי סדרות המכסות סדרה

  • אם ניתן לחלק סדרה למספר סופי של תתי סדרות המכסות את כולה, וכולן שואפות לאותו הגבול - אזי הסדרה כולה שואפת לגבול זה.
  • ייתכן שניתן לחלק סדרה לאינסוף תתי סדרות שכולם שואפות לאותו הגבול, אך הסדרה לא תשאף לגבול זה.


כלל הe

  • תהי 0\neq a_n\to 0 אזי (1+a_n)^{\frac{1}{a_n}}\to e



  • אם a_n\to 1 אזי a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}
    • a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}.
    • \left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e בין אם a_n-1 שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
    • שימו לב שאם a_n=1, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק בa_n-1 ששווה אפס.


  • דוגמא:
    • \lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3


חשבון גבולות (אריתמטיקה של גבולות)

  • אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
    • חסומה כפול אפיסה = אפיסה
    • חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
    • \infty+\infty=\infty
    • \infty\cdot\infty=\infty
    • \infty^\infty=\infty
    • \frac{1}{0}\neq\infty
    • \frac{1}{0^+}=\infty
    • 0^\infty = 0
    • אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
    • יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
    • אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
    • אינסוף בחזקת מספר חיובי זה אינסוף
    • סדרה השואפת לגבול גדול מאחד, בחזקת אינסוף זה אינסוף.
    • סדרה השואפת לגבול בין מינוס אחד לאחד לא כולל, בחזקת אינסוף, זה אפס.


המקרים הבעייתיים

  • המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
    • \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty

קריטריון קושי לסדרות

  • דוגמא: הסדרה a_n=\sqrt{n} מקיימת כי a_{n+1}-a_n\to 0 אך היא אינה מתכנסת למספר סופי אלא שואפת לאינסוף.


  • הגדרה: סדרה a_n מקיימת את קריטריון קושי (ונקראת סדרת קושי) אם:
  • לכל מרחק \varepsilon>0 קיים מקום K\in\mathbb{N} כך שאחריו לכל זוג מקומות m>n>K מתקיים כי |a_m-a_n|<\varepsilon (המרחק בין האיברים במקומות הללו קטן מאפסילון).


  • משפט: בממשיים, סדרה מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם היא סדרת קושי.


  • תרגיל: תהי סדרה המקיימת לכל n כי |a_{n+1}-a_n|<\frac{1}{2^n} אזי היא מתכנסת למספר סופי.


פרק 3 - טורים

מבוא והגדרה


  • תהי סדרה a_n, נגדיר את סדרת הסכומים החלקיים (סס"ח בקיצור) של a_n ע"י
    • S_1=a_1
    • ולכל n\in\mathbb{N} מתקיים S_{n+1}=S_n+a_{n+1}
  • במילים אחרות, S_n = \sum_{k=1}^n a_k


  • הגדרת הטור \sum_{k=1}^\infty a_k
    • אומרים כי \sum_{k=1}^\infty a_k =L אם \lim S_n = L
  • אם לסס"ח יש גבול סופי אומרים כי הטור מתכנס, ואילו אם אין לה גבול סופי אומרים כי הטור מתבדר.
  • שימו לב כי בעצם:
    • \sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k


  • אם הטור \sum_{k=1}^\infty a_k מתכנס, אזי a_n\to 0
  • הוכחה:
    • S_n,S_{n+1}\to L
    • לכן a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\to L-L=0


  • \sum_{k=1}^\infty a_k = a_1 + \sum_{k=2}^\infty a_k
  • מסקנה: שינוי מספר סופי של איברי הטור לא משפיע על התכנסות, אבל כן משפיע על סכום הטור.



חשבון טורים

  • אם הטור \sum_{k=1}^\infty a_k מתכנס, וc\in\mathbb{R} קבוע אזי
    • \sum_{k=1}^\infty c\cdot a_k = c\cdot \sum_{k=1}^\infty a_k


  • אם הטורים \sum_{k=1}^\infty a_k,\ \sum_{k=1}^\infty b_k מתכנסים אזי
    • \sum_{k=1}^\infty (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^\infty a_k + \sum_{k=1}^\infty b_k

הטור ההנדסי

  • הטור \sum_{k=0}^\infty x^k מתכנס אם ורק אם |x|<1 וכאשר הוא מתכנס מתקיים כי:
    • \sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x} וכמו כן \sum_{k=1}^\infty x^k = \frac{x}{1-x}


טור מקל סלפי (טלסקופי)

  • חישוב \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2 -k} על ידי הסס"ח הטלסקופי


  • חישוב \sum_{k=1}^\infty \ln\left(\frac{k}{k+1}\right) על ידי הסס"ח הטלסקופי

העשרה על סוגי סכימה

התכנסות בהחלט

  • משפט: אם טור הערכים המוחלטים \sum_{k=1}^\infty |a_k| מתכנס, אזי גם הטור המקורי \sum_{k=1}^\infty a_k מתכנס.


  • הגדרה:
    • הטור \sum_{k=1}^\infty a_k נקרא מתכנס בהחלט אם \sum_{k=1}^\infty a_k מתכנס וגם \sum_{k=1}^\infty |a_k| מתכנס
    • הטור \sum_{k=1}^\infty a_k נקרא מתכנס בתנאי אם \sum_{k=1}^\infty a_k מתכנס אך \sum_{k=1}^\infty |a_k| מתבדר
    • הטור \sum_{k=1}^\infty a_k נקרא מתבדר אם \sum_{k=1}^\infty a_k מתבדר וגם \sum_{k=1}^\infty |a_k| מתבדר


מבחני התכנסות לטורים חיוביים

הקדמה והטור ההרמוני

  • הגדרה: טור \sum_{k=1}^\infty a_k נקרא טור חיובי אם לכל n מתקיים כי a_n\geq 0.
  • סדרת הסכומים החלקיים של טור חיובי היא מונוטונית עולה, לכן הטור מתכנס אם ורק אם היא חסומה.


  • לסס"ח של הטור ההרמוני \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} יש תת סדרה ששואפת לאינסוף, ולכן הטור מתבדר:
    • \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}
    • S_1 =1\geq \frac{1}{2}
    • S_2 =1+\frac{1}{2}\geq 2\cdot \frac{1}{2}
    • S_4 =1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\geq 3\cdot \frac{1}{2}
    • ...
    • באופן כללי S_{2^{n-1}}\geq n\cdot \frac{1}{2}\to\infty


מבחני ההשוואה

  • מבחן ההשוואה הראשון-
  • תהיינה סדרות כך ש 0\leq a_n\leq b_n לכל n. אזי:
    • אם הטור הגדול יותר \sum_{k=1}^\infty b_k מתכנס בוודאי הטור הקטן יותר \sum_{k=1}^\infty a_k מתכנס.
    • נובע מכך לוגית שאם הטור הקטן מתבדר, הטור הגדול מתבדר.


  • דוגמא:
    • \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n^2-n}
    • ראינו שהטור החיובי \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2-k} מתכנס ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור החיובי \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} מתכנס


  • מבחן ההשוואה הגבולי-
  • תהיינה סדרות 0\leq a_n,b_n כך ש \frac{a_n}{b_n}\to c אזי:
    • אם c=\infty אזי a_n>b_n החל משלב מסויים, ולכן אם \sum_{k=1}^\infty a_k מתכנס גם \sum_{k=1}^\infty b_k מתכנס
    • אם c=0 אזי a_n<b_n החל משלב מסויים, ולכן אם \sum_{k=1}^\infty b_k מתכנס גם \sum_{k=1}^\infty a_k מתכנס
    • אחרת, 0<c\in\mathbb{R} והטורים חברים \sum_{k=1}^\infty a_k ~ \sum_{k=1}^\infty b_k, כלומר \sum_{k=1}^\infty a_k מתכנס אם ורק אם \sum_{k=1}^\infty b_k מתכנס

מבחני השורש והמנה

  • יהי טור \sum_{k=1}^\infty a_k


  • מבחן המנה -
    • אם \overline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1 אזי הטור מתכנס בהחלט
    • אם \underline{\lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1 אזי a_n\not\to 0 ולכן הטור מתבדר


  • מבחן השורש -
    • אם \overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}<1 אזי הטור מתכנס בהחלט
    • אם \overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}>1 אזי a_n\not\to 0 ולכן הטור מתבדר


  • שימו לב - במבחן השורש לוקחים את הגבול העליון בשני המקרים, ובמבחן המנה צריך שהעליון יהיה קטן מאחד, או התחתון גדול מאחד. זו לא טעות...

מבחן העיבוי

  • מבחן העיבוי-
    • תהי a_n\to 0 סדרה מונוטונית יורדת לאפס אזי הטור \sum_{k=1}^\infty a_k מתכנס אם ורק אם \sum_{k=1}^\infty 2^k \cdot a_{(2^k)}


הטור ההרמוני המוכלל
  • הטור \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^a} מתכנס אם ורק אם a>1

מבחני התכנסות לטורים כלליים

מבחן דיריכלה

  • תהי סדרה a_n\to 0 סדרה מונוטונית יורדת לאפס
  • תהי סדרה b_n כך שההסס"ח שלה חסומה, כלומר קיים M>0 כך שלכל n מתקיים |S_n|=\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|<M
  • אזי הטור \sum_{k=1}^\infty a_kb_k מתכנס.


  • הוכחה:
  • נסמן בD_n את סדרת הסכומים החלקיים של הטור \sum_{k=1}^\infty a_kb_k ובS_n את סדרת הסכומים החלקיים של b_n.
  • יהיו m>n\in\mathbb{N}
    • D_m-D_n = \sum_{k=n+1}^m a_kb_k = \sum_{k=n+1}^m a_k(S_k -S_{k-1}) = \sum_{k=n+1}^m a_kS_k - \sum_{k=n}^{m-1} a_{k+1}S_k = a_mS_m -a_{n+1}S_n + \sum_{k=n+1}^{m-1} S_k(a_k-a_{k+1})
    • |D_m-D_n|\leq |a_m||S_m| + |a_{n+1}|S_n +\sum_{k=n+1}^{m-1} |S_k||a_k-a_{k+1}|
    • כעת נשתמש בעובדה כי |S_n|<M לכל n וכן a_n - a_{n+1}\geq 0 לכל n.
    • |D_m-D_n|\leq M\left(a_m + a_{n+1} +\sum_{k=n+1}^{m-1} a_k-a_{k+1}\right)= 2Ma_{n+1}\to 0
  • לכן D_n סדרת קושי ולכן מתכנסת לגבול סופי, כלומר הטור מתכנס.


מבחן לייבניץ

  • תהי a_n\to 0 סדרה מונוטונית יורדת לאפס. אזי:
    • הטור \sum_{k=1}^\infty (-1)^{n+1}a_k מתכנס.
    • \left|\sum_{k=1}^\infty (-1)^{n+1}a_k\right|\leq a_1.


  • הוכחה:
    • כיוןן שהסס"ח של (-1)^n חסומה הטור מתכנס לפי מבחן דיריכלה.
    • נסמן בS_n את הסס"ח של הטור \sum_{k=1}^\infty (-1)^{n+1}a_k.
    • כיוון שהסדרה a_n יורדת, ניתן להוכיח באינדוקציה כי:
      • S_{2n}\geq 0
      • S_{2n-1}\leq a_1

סיכום בדיקת התכנסות 🖖

  • כיצד נבחן אם הטור \sum a_n מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?
  1. אם ניתן להראות כי a_n\not\to 0 הטור מתבדר
  2. נבצע מבחני ספוק 🖖
    1. אם לפי מבחני ההשוואה (הראשון או הגבולי) הטור \sum |a_n| אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
    2. אם במבחן המנה או השורש הגבול גדול מ1 הטור מתבדר, אם קטן מ1 הטור מתכנס בהחלט ואם שווה ל1 צריך לנסות משהו אחר.
    3. אם במבחן העיבוי הטור \sum |a_n| אינו מתכנס, אז אין התכנסות בהחלט, נעבר לבדוק התכנסות בתנאי.
  3. אם לא מצאנו התכנסות בהחלט, נבצע מבחנים על טורים כלליים בשביל לבדוק התכנסות בתנאי
    1. מבחן לייבניץ
    2. מבחן דיריכלה
    3. עבודה ישירה על סדרת הסכומים החלקיים (טור טלסקופי למשל)


משפט רימן על שינוי סדר הסכימה

  • תהי f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} פונקציה הפיכה ותהי סדרה a_n אז נאמר שb_n=a_{f(n)} היא שינוי סדר של הסדרה a_n.
  • דוגמא:
    • a_n=1,-1,1,-1,...
    • f(n)=1,3,2,4,6,5,...
    • b_n=a_{f(n)}=1,1,-1,1,1,-1,...


  • בדוגמא האחרונה:
  • נסמן בS_n את הסס"ח של a_n ומתקיים כי:
    • S_n=1,0,1,0,...
  • נסמן בD_n את הסס"ח של שינוי הסדר b_n, מתקיים כי:
    • D_n =1,2,1,2,3,2,3,4,3,...
  • שינוי הסדר אמנם הותיר את הטור מתבדר, אך הפך את סדרת הסכומים החלקיים מחסומה לשואפת לאינסוף.


  • משפט רימן - יהי טור מתכנס בתנאי \sum_{k=1}^\infty a_k =L אזי לכל -\infty\leq M \leq \infty קיים שינוי סדר כך ש \sum_{k=1}^\infty b_k=M
  • כלומר, אם הטור מתכנס בתנאי, ניתן לגרום לו להתכנס לכל ערך שנרצה (ואף לשאוף לפלוס או מינוס אינסוף), על ידי שינוי סדר איברי הסדרה.


  • יהי טור מתכנס בהחלט \sum_{k=1}^\infty a_k =L אזי לכל שינוי סדר b_n מתקיים כי \sum_{k=1}^\infty b_k=L
  • כלומר, שינוי סדר איברי הסדרה אינו משפיע על סכום הטור.


  • תרגיל - אם a_n\to L גם שינוי הסדר מקיים b_n\to L

פרק 4 - פונקציות ורציפות

מבוא לגבולות


  • מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
    • \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}
    • \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}
    • \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x
    • \lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x
    • \lim_{x\to\infty}x^2-x

הגדרת הגבול לפי קושי

  • \lim_{x\to x_0}f(x)=L אם לכל סביבה של L בציר y קיימת סביבה של x_0 בציר x, כך שלכל ערכי x בסביבה של x_0 פרט אולי לx_0 עצמו, ערכי ציר y כלומר f(x) נמצאים בסביבה של L בציר y.


  • דוגמאות:
    • \lim_{x\to 3} 2x+1=7 אם לכל \varepsilon>0 קיים \delta>0 כך שלכל x המקיים 0\neq |x-3|<\delta מתקיים |2x+1-7|<\varepsilon
    • \lim_{x\to 2^-}\frac{1-x}{\sqrt{2-x}}=-\infty אם לכל M>0 קיים \delta>0 כך שלכל x המקיים 2-\delta<x<2 מתקיים כי \frac{1-x}{\sqrt{2-x}}<-M
    • y=a אסימפטוטה אופקית מימין של f(x) אם לכל \varepsilon>0 קיים K>0 כך שלכל x המקיים x>K מתקיים כי |f(x)-a|<\varepsilon


הגדרת הגבול לפי היינה

  • \lim_{x\to x_0}f(x)=L אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס x_0\neq a_n\to x_0 סדרת המספרים על ציר y מקיימת f(a_n)\to L
  • \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס x_0< a_n\to x_0 סדרת המספרים על ציר y מקיימת f(a_n)\to L
  • \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L אם לכל סדרת מספרים על ציר איקס x_0> a_n\to x_0 סדרת המספרים על ציר y מקיימת f(a_n)\to L

הגדרה זו שקולה להגדרה של קושי, כלומר הגבול שווה לL לפי קושי אם ורק אם הוא שווה לL לפי היינה.


  • מרבית כללי האריתמטיקה המורחבות נובעים "בחינם" עבור פונקציות
  • \lim_{x\to x_0}f(x)=L אם ורק אם \lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L


הפונקציות הטריגונומטריות

  • הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
    • sin^2(x)+cos^2(x)=1
    • sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)
    • sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
    • sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)



  • Sin(x) over x.png
    • עבור זוית 0<x<\frac{\pi}{2} שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
    • S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}
    • \frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}
      • כיוון ש0<sin(x)<x בתחום (0,\frac{\pi}{2}), נובע לפי סנדוויץ' ש\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0.
      • כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
      • כעת בתחום (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) הקוסינוס חיובית ולכן cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)} ונובע כי \lim_{x\to 0}cos(x)=1.
    • נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
    • 1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}
    • לפי כלל הסנדביץ \lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1
    • כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.


  • ראינו ש\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1.
  • שימו לב ש\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.


רציפות

  • רציפות.
  • הגדרה:
  • פונקציה f נקראית רציפה בקטע [a,b] אם f רציפה בכל נקודה בקטע (a,b) ובנוסף \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a) וגם \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)


  • טענה: אם f רציפה בx_0 אזי לכל סדרה x_n\to x_0 (גם אם אינה שונה מx_0) מתקיים כי f(x_n)\to f(x_0).




  • גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
    • f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0 מתקיים כי \lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0 אבל \lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1.


  • הרכבת רציפות: תהי f רציפה בx_0 ותהי g רציפה בf(x_0). אזי g\circ f רציפה בx_0.
    • הוכחה:
    • תהי סדרה x_0\neq x_n\to x_0 אזי f(x_n)\to f(x_0)
    • לפי הטענה הקודמת, g(f(x_n))\to g(f(x_0)).


אי רציפות

  • מיון אי רציפות.
    • רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
    • סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
    • קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
    • עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.


פרק 5 - גזירות


הגדרת הנגזרת

  • f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
  • \lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
    • הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
    • נניח כי \lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0) ונוכיח כי \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0), והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
    • תהי x_0\neq x_n\to x_0 נגדיר את הסדרה 0\neq h_n=x_n-x_0\to 0.
    • כיוון ש\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0) נובע כי \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0).
  • אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
    • צ"ל \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)
    • לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל \lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0
    • לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי \lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0
  • פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
    • (|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h} וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
    • ניתן לשים לב גם ש|x|=\sqrt{x^2}, וכמו כן נראה בהמשך כי\sqrt{x} אינה גזירה באפס.


הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות

  • טריגו:
    • \lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0
    • (sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)
    • באופן דומה (cos(x))'=-sin(x)
  • לוג:
    • \lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)
      • המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
      • (בפרט נובע כי \lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1.)
    • (log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}
      • בפרט נובע כי (ln(x))' = \frac{1}{x}
  • אקספוננט:
    • \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)
    • (a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)
      • בפרט נובע כי (e^x)'=e^x.
  • חזקה:
    • (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} לכל \alpha\in \mathbb{R}, הוכחה בהמשך.
      • בפרט:
      • (1)'=0
      • (\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}
      • (\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}


חוקי הגזירה

  • תהיינה f,g גזירות בx_0 אזי:
    • (cf)'(x_0)=cf'(x_0)
    • (f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)
    • (f\cdot g)'(x_0) = f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)


תהי f גזירה בx_0 ותהי g הגזירה בf(x_0):

  • (g\circ f)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}
  • תהי סדרה x_0\neq x_n\to x_0.
  • רוצים לומר ש\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{f(x_n)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0).
  • אמנם f(x_n)\to f(x_0) בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע שf(x_n)\neq f(x_0) ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
  • אם יש תת סדרה a_n של x_n עבורה f(a_n)=f(x_0) אזי \frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}=0 ולכן f'(x_0)=0.
  • לכן g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=0.
  • כמו כן, \frac{g(f(a_n))-g(f(x_0))}{a_n-x_0}=0.
  • לכן בכל מקרה קיבלנו כי \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)
  • סה"כ (g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0).

נגזרת של חזקה

  • עבור x>0 מתקיים (x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}
  • דוגמא: חישוב הנגזרת של x^x

נגזרת מנה

תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש g(x)\neq 0:

  • נזכור כי (\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}
  • אזי בנקודה x מתקיים: \left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}


פונקציות הופכיות ונגזרתן

  • פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
    • פונקציה f:[a,b]\to [c,d] הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
    • הפונקציה ההופכית היא f^{-1}:[c,d]\to[a,b] ומתקיים כי f(x)=y אם"ם x=f^{-1}(y)


  • טענה: אם f:[a,b]\to [c,d] רציפה בקטע [a,b], אזי f^{-1}:[c,d]\to[a,b] רציפה בקטע [c,d].
    • הוכחה:
    • תהי y_0\neq y_n\to y_0, צ"ל ש f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)
    • יהי גבול חלקי x_n=f^{-1}(y_n)\to L.
    • אזי f(x_n)=y_n\to y_0.
    • מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים f(x_n)\to f(L).
    • לכן f(L)=y_0 ולכן L=f^{-1}(y_0).


  • טענה: תהי f:[a,b]\to [c,d] הפיכה ורציפה. ונניח כי היא גזירה בנק' a<x_0<b כך ש f'(x_0)\neq 0.
אזי f^{-1} גזירה בנק' f(x_0) ומתקיים כי
(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)} או בנוסח אחר-
(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}
    • הוכחה:
    • (f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}
    • תהי f(x_0)\neq y_n\to f(x_0) ונסמן x_n=f^{-1}(y_n).
    • אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0
    • \frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}


  • דוגמא חשובה:
  • tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R} הפיכה וההופכית שלה נקראית arctan.
  • tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}
  • arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}

פרק 6 - חקירה

משפטי חקירת פונקציות

  • משפט ערך הביניים.
  • תהי f רציפה ב[0,1] כך שf(1)=2, הוכיחו שקיימת נק' c\in [0,1] עבורה f(c)=\frac{1}{c}
    • נעביר אגף ונביט בפונקציה h(x)=f(x)-\frac{1}{x} שצריך למצוא שורש שלה.
    • h(1)>0.
    • \lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty ולכן קיימת נקודה 0<d<1 עבורה h(d)<0.
    • לפי משפט ערך הביניים בקטע [d,1] קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.


  • משפטי ויירשטראס.
    • פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
    • פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.


  • משפט פרמה.
    • אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
    • ההפך אינו נכון.
  • משפט רול.
    • פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בקטע הפתוח.
    • לפולינום יש לכל היותר n שורשים שונים.
  • משפט לגראנז'.
    • פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח מקבלת את השיפוע בין שתי נקודות הקצה בנגזרת בנק' כלשהי.
  • משפט לגראנז' המוכלל.
    • שתי פונקציות רציפות בקטע סגור, גזירות בקטע הפתוח, והנגזרת של האחת אינה מתאפסת. אזי מנת הנגזרות שווה למנת השיפועים בנק' מסויימת.


  • הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
    • ראשית, כיוון שg'(x)\neq 0 בקטע (a,b) נובע לפי רול כי g(a)\neq g(b) ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
    • h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))
    • h(a)=h(b)=0 ולכן לפי רול קיימת נק' c\in (a,b) עבורה h'(c)=0 וזה מה שרצינו להוכיח.
    • (שימו לב שמותר לחלק בg'(c).)
    • עבור g(x)=x נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.

קשר בין הנגזרת לפונקציה

  • פונקציה גזירה עולה אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס.
  • פונקציה עולה ממש אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס, ולא מתאפסת על קטע.


כלל לופיטל

  • כלל לופיטל (הוכחה לאפס חלקי אפס בנקודה סופית).
  • כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.